Re: [obm-l] Números complexos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Números complexos

on 02.04.03 23:07, Ricardo Prins at ricardoprins@hotmail.com wrote:

> Primeira dúvida: existe representação gráfica da norma de um complexo?
>
> Sim, em 3 dimensoes. 
>
> A norma de x + iy eh igual a (x^2+y^2) (outras pessoas dizem que a norma eh raiz(x^2+y^2), mas eu chamo isso de modulo. Assim, pra mim: modulo = raiz(norma). Cuidado que a nomenclatura nao eh padrao).
>
> De qualquer jeito, voce define a funcao N: R^2 --> R tal que:
> N(x,y) = x^2 + y^2
>
> Fazendo o complexo x + iy corresponder ao par ordenado (x,y) voce tem a sua representacao grafica: e o paraboloide de revolucao: z = x^2 + y^2.
>
> Se N(x,y) = raiz(x^2+y^2), entao a representacao grafica sera a folha superior (localizada no semi-espaco z >= 0) do cone z^2 - x^2 - y^2 = 0
>
> *********
>  
> outra dúvida: 
>  
> Seja z pertencente aos complexos. Determine z e o módulo do complexo 1 - z, sabendo-se que z é o complexo de módulo máximo tal que | z + sqrt(2)cis (pi)/3 | = 1.
>
> Tem certeza que eh cis(pi)/3? Isso eh igual a -1/3.
>
> Assim, voce vai ter | z - raiz(2)/3 | = 1 ==>
>  z pertence a circunferencia de centro em (raiz(2)/3,0) e raio 1 ==> 
> |z| eh maximo  se z = 1 + raiz(2)/3 ==>
> | 1 - z | = raiz(2)/3.
>
> Por outro lado, se for cis(pi/3), voce terah:
> | z + raiz(2)*cis(pi/3) | = 1 ==>
> z pertence a circunferencia de centro em (-raiz(2)/2,-raiz(6)/2) e raio 1 ==>
> | z | eh maximo se z tambem pertencer a circunferencia de centro na origem e que tangencia externamente a circunferencia acima.
>
> z = x + iy ==>
> x/(-raiz(2)/2) = (1+raiz(2))/raiz(2) 
> e
> y/(-raiz(6)/2) = (1+raiz(2))/raiz(2) ==>
> x = (1+raiz(2))(-1/2)   e   y = (1+raiz(2))*(-raiz(3)/2) ==>
> z = (1+raiz(2))*cis(4*pi/3) ==>
> | 1 - z | = | (3+raiz(2))/2 + i*(1+raiz(2))*(raiz(3)/2) | =
> raiz(20 + 12*raiz(2))/2 =
> raiz(5 + 3*raiz(2))
>
> *********
>
> e finalmente, 
>  
> prove que se x + x^ (- 1) = 2 cos n, então x^13 + x^(-13) = 2 cos 13n.
>  
> x + 1/x = 2*cos(n) ==>  
>
> x^2 - 2*cos(n)*x + 1 = 0 ==>
>
> x = cis(n)  e  x^(-1) = cis(-n)
> ou  
> x = cis(-n)  e  x^(-1) = cis(n) ==>
>
> x^13 = cis(13n)  e  x^(-13) = cis(-13n)
> ou
> x^13 = cis(-13n)  e  x^(-13) = cis(13n) ==>
>
> de qualquer forma, x^13 + x^(-13) = 2*cos(13n)