Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo....

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] olimpíadas ao redor do mundo....

on 02.04.03 17:07, DEOLIVEIRASOU@aol.com at DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:

> E aí rapaziada....quero perguntar uma coisa sobre o problema abaixo...
> 1) Determine n natural, tais que n^2+2 divida 2+2001n. Indo direto a definição, existe k inteiro tal que 2+2001n=n^2*k+2K. A equação do segundo grau subjacente tráz delta=2001^2-8k(k-1). Só existe n natural se delta for um quadrado perfeito....como determinar os valores de k para que isso aconteça?? No braço???
>
>
>     Se alguém souber, agradeço a ajuda...se alguem conhece outra forma de resolver adoraria conhecer também. Vou aproveitar e mandar outro.
>
> 2) No gráfico da parábola y=x^2 no pano cartesiano marcamos os pontos A, B e C(com A entre B e C). No segmento BC marca-se o ponto N de modo que AN seja paralelo ao eixo das ordenadas. Se S1 e S2 são as áreas dos triângulos ABN e ACN, respectivamente, determine a medida do segmento AN. 

Oi, Crom:

A 1a. ja apareceu aqui na lista. Vou dar uma procurada e te mando a solucao se conseguir acha-la.

Quanto a sua forma de resolver, eu diria que eh perfeitamente aceitavel, apesar de a solucao poder ser mais complicada do que por outros metodos.

Repare, no entanto, que delta = quadrado perfeito eh apenas uma condicao necessaria (mas nao suficiente) para que a equacao do 2o. grau tenha solucoes inteiras, pois pode ser que (2001 +ou- raiz(delta)) nao seja divisivel por 2k.


Agora o 2o.:

A = (a,a^2), B = (b,b^2), C = (c,c^2)  com b < a < c.

Eq. da reta BC: 
y - b^2 = [(c^2-b^2)/(c-b)](x - b) ==>
y = b^2 + (b+c)(x - b) ==>
y = (b+c)x - bc

AN paralelo ao eixo y ==> 
A e N tem a mesma abscissa ==>
N = ( a ,  (b+c)a - bc ) ==>
m(AN) = | (b+c)a - bc - a^2 | = | ba - bc + ca - a^2 | =
= | b*(a - c) - a*(a - c) | = | (b - a)*(a - c) | =
= (a - b)*(c - a)   (lembre-se que b < a < c)

Repare que, aparentemente, temos um problema dimensional:
m(AN) = comprimento
enquanto que:
(a - b)*(c - a) = comprimento^2

No entanto, lembre-se que a equacao da parabola eh y = x^2. Assim, se x e y devem ter a mesma dimensao (comprimento), deve haver uma constante de proporcionalidade k, tal que:
k*y = x^2  onde, no caso, k vale 1 unidade de comprimento.

Agora, repare que a altura de ABN relativa a base AN e igual a (a - b) ==>
S1 = (1/2)*m(AN)*(a - b) ==>
m(AN) = 2*S1/(a - b)

Analogamente voce acha que:
m(AN) = 2*S2/(c - a)

Multiplicando estas duas ultimas expressoes para m(AN):
m(AN)^2 = 4*S1*S2/m(AN) ==>
m(AN)^3 = 4*S1*S2 ==>
m(AN) = (4*S1*S2)^(1/3)

Um abraco,
Claudio.