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f(x) = (sen(x)/cos(x) - x)/(x - sen(x)) = (sen(x) -
x*cos(x))/[cos(x)*(x - sen(x))] =
= [(sen(x)/x) - cos(x)] / [cos(x)*(1 -
sen(x)/x)]
Usando os primeiros dois termos das séries de
Taylor de seno e cosseno, teremos:
sen(x)/x = 1 - x^2/6 + O(x^4)
e cos(x) = 1 - x^2/2 + O(x^4)
Assim:
f(x) = [x^2/2 - x^2/6 + O(x^4)] / [(1 - x^2/2 +
O(x^4))*(x^2/6 + O(x^4))]
= [1/2 - 1/6 + O(x^4)/x^2] / [1/6 +
O(x^4)/x^2]
Logo, quando x -> 0, f(x) -> (1/2 -
1/6)/(1/6) = 2.
Um abraço,
Claudio.
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