Re: [obm-l] nova ajuda

[Fábio Dias Moreira <fabio.dias.moreira@xxxxxxxxxxxx>]

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On Tuesday 01 April 2003 20:38, Daniel Pini wrote:
> As cidades  A e B distam 5 quilometros uma da outra. Deseja-se construir
> uma escola onde estudarão 1000 crianças da cidade A e 500 crianças da
> cidade B. A que distancia, em quilometros, da cidade A deve ser construida
> a escola de modo que a distancia total percorrida por todas as 1500
> crianças seja a menor possível? R: 0
> [...]

Seja d a distância da escola a A. Então a distância a B é de 5 - d.

Queremos minimizar 1000*d + (5-d)*500 = 1000*d + 2500 - 500*d = 500*d + 2500 
com 0 <= d <= 5.

> [...]
> Considere a sequencia x(1), x(2), x(3), ...  definida por x(1)= 3^1/3,
> x(2)= (x(1))^3^1/3 e, em geral, x(n)= (x(n-1))^3^1/3, pra n maior que 1. O
> menor valor de n para o qual x(n) é inteiro vale: R:4
> [...]

É fácil ver que x(n) = (3^1/3)^((3^1/3)^n) (indução!).

Existe um teorema diz que se a e b são reais que são raízes de um polinômio de 
coeficientes inteiros (por exemplo, x^3 - 3 = 0) e b não for racional, então 
a^b não é raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros (e em particular, 
a^b não é inteiro).

(Existe uma demonstração mais elementar de que x(2) e x(3) não são inteiros 
que não envolva estimar 3^1/3 por cima e por baixo por racionais?)

> [...]
> A sequencia crescente 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11,... consiste de todos os
> inteiros positivos que não são quadrados nem cubos de um inteiro positivo.
> O 500º termo dessa sequencia é : R:528
> [...]

Calcule primeiro a posição do número 500 e conte até o 500-ésimo termo na mão 
(cuidado com as sextas potências!).

> [...]
> Se (5^2 + 9^2) (12^2 + 17^2) for escrito sob a forma a^2 + b^2 então a+b  é
> igual a:R: 60 ou 153
> [...]

Seja z' o conjugado de um complexo z. Use os seguintes fatos:

a) Se z = a+bi, zz' = a^2 + b^2
b) zz'ww' = zwz'w' = zw'z'w

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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