[obm-l] Re:[obm-l] n� + 100 � divi por n + 10

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Caro jgb1,  �
sua�ajuda nao me parece fazer nenhum sentido... de onde vc tirou que
"Dividindo�n� + 100�por n+10, resta 900"?���O proprio enunciado da
questao afirma que�dividindo�n� + 100�por n+10, resta 0.
�
Sera que vc pode 'post' aqui o raciocinio usado na sua afirmacao?

O racioic�nio do F�bio�est� perfeito. Considere os polin�mios P e D
dados�por P(x)�= x^3 + 100 e D(x) = x+10. Se dividirmos P por D (isto �,
dividirmos 2 polin�mios, duas func�es polinomiais), concluimos que, para
todo x real, P(x) = (x^2 -10x +100) D(x) -900.� Logo, -900, que pode ser
considerado como um polin�mio do grau zero, isto �, uma fun��o
constante, � o resto da divis�o de P por D, e o quociente � o polin�mio
Q dado por Q(x) = x^2 -10x +100. Observe que -900 � o valor de P para
x=-10, visto que -10 anula D (este � um conhecido teorema da �lgebra).
Temos ent�o, para x<>-10, que P(x)/D(x) =�Q(x) - 900/((x+10).
Constatamos que todos os coeficientes de Q s�o inteiros, logo, Q(n) �
inteiro se n tamb�m o for. Disso concluimos, das defini��es de P, D e Q,
que, para n inteiro positivo, (n^3 + 100)/(n+10) = n^2 - 10n + 100 -
900/(n+10) ser� inteiro se, e somente se, o segundo membro desta
igualdade tamb�m o for. Dado que Q(n) = n^2 - 10n + 100 � inteiro se n o
for, segue-se� que o segundo membro ser� inteiro sse�900/(n+10) o for.
Ora, o maior divisor de um inteiro positivo � ele pr�rprio. Logo, o
maior valor de n que acareta a condi��o desejada � tal que n+10 = 900,
ou seja n= 890.

Artur 


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