[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Fw: [obm-l] Determine o nº de algarismos do período.

["Wagner" <timpa@xxxxxxxxxx>]

Oi para todos !

Aqui vai:

TEOREMA: Se q é racional tal que q=m/n , a dízima da expansão
decimal de q aparece antes da n-ésima casa decimal.
(OBS: m,n inteiros)

PROVA: Faça a divisão de m por n.
Seja r_i o i-ésimo passo dessa divisão.
POR EXEMPLO:Divisão de 19857 por 31:
1ºpasso:
1 < 31.
19 < 31.
198 dividido por 31 da 6 e resto 12.
Logo r_1=12
2ºpasso:
12 < 31.
125 dividido por 31 da 4 e resto 1.
Logo r_2=1
3ºpasso:
1 < 31
17 < 31
170 dividido por 31 da 5 e resto 15
Logo r_3=15
E assim vai.
OBS:Se r_n=0 para algum n, a divisão prossegue como descrito

Logo:  0 =< r_i <n
Portanto para algum i>n e algum j=<n,
r_i = r_ j. Logo as divisões eventualmente passam a se
repetir após o j-ésimo passo, logo o período tem no
máximo j=<n casas.

CQD.

André T.



----- Original Message -----
From: "amurpe" <amurpe@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, March 26, 2003 7:41 AM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Fw: [obm-l] Determine o nº de algarismos do
período.


> >
> >Oi , Wagner , se não for incomodo gostaria de conhecer
> esse teorema.
>
> um abraço , e obrigado.
>
> Amurpe
>
>
>  Oi para todos!
> >
> > Só para corrigir a mensagem anterior, se as duas afirma
> ções estiverem
> > corretas a resposta pode ser tanto 3^2000 como 3^2001.
> > Isso segue do teorema de que o nº de algarismos do perí
> odo de 1/x
> > é menor do que x, para todo x natural maior que 1 (o pe
> ríodo de 1 têm 1
> > algarismo: 1,0000... ).
> > Esse teorema é interessante por que prova que um número
>  decimal com
> > período infinito (ou sem período definido) é obrigatóri
> amente irracional.
> > A prova dele é fácil e se alguém quiser eu coloco na li
> sta.
> >
> >
> > Desculpem a distração
> > André T.
> >
> >
> >   ----- Original Message -----
> >   From: Wagner
> >   To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >   Sent: Sunday, March 23, 2003 12:40 PM
> >   Subject: Re: [obm-
> l] Determine o nº de algarismos do período.
> >
> >
> >   Oi para todos!
> >
> >   Vamos tentar encontrar um padrão para o nº de algaris
> mos do período de
> >   1/3^k para k natural maior do que 1:
> >
> >   Para 1/3 , o nº de algarismos do período é 1 (0,333..
> .)
> >   Para 1/3^2 , esse nº também é 1 (0,111...)
> >   Para 1/3^3 , esse nº é 3 (0,037037...)
> >   Para 1/3^4 , esse nº é 9 (0,012345679...)
> >   Para 1/3^5 , esse nº é 27 (0,004115226337448559670781
> 893...)
> >
> >   SUGESTÕES:
> >   -
> Tente provar que o nº de algarismos dos períodos será sem
> pre
> >   da forma 3^a, com a natural maior que 1.
> >   -
> Tente provar que se k>2, o nº de algarismos do período de
>  1/3^(k+1)
> >   é maior (ou então maior ou igual) que o nº de algaris
> mos de 1/3^k.
> >
> >   OBS:
> >   Eu não tentei provar nenhuma das 2 afirmações, logo e
> las podem ser falsas.
> >   Mas, é fácil perceber que se ambas estiverem corretas
>  a resposta é 3^2001.
> >
> >
> >   André T.
> >
> >
> >     ----- Original Message -----
> >     From: André Riker
> >     To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >     Sent: Friday, March 21, 2003 10:30 PM
> >     Subject: [obm-
> l] Determine o nº de algarismos do período.
> >
> >
> >
> >
> >     Alguém poderia me ajudar a resulver esse problema?
> >
> >     Ao escrevermos a fração 1/3²ºº² como um número deci
> mal, obtemos uma dízima periódica. Qual o número de algar
> ismos da período?
> >
> >     Obrigado, André!!!!!!!!
> >
> >
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