[obm-l] Re: [obm-l] problemas1

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Tem uma soluçao superlegal que usa o Postulado de Bertrand.O Bruno Leite
deve ter no site dele do IME.
-- Mensagem original --

>Caro Claudio, fico muito grato com as soluções que vc me enviou. Elas me
>ajudam bastante a comprender a fundo os exercícios. 
>Infelizmente devo dizer que não consegui entender a sua solução para o
problema
>das frações. Vc poderia enviar uma outra solução ou então detalhar mais
como
>vc fez para resolve-la? Muito grato, Daniel
>  ----- Original Message ----- 
>  From: Cláudio (Prática) 
>  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
>  Sent: Monday, March 24, 2003 5:20 PM
>  Subject: Re: [obm-l] problemas1
>
>
>  Oi, Daniel:
>   
>  Dentre todas as frações da forma a/b com a, b inteiros; a maior que 0
e
>menor que b ,e a+b menor que 40, aquela mais próxima de 5/48 é tal que
a+b
>vale: R: 32
>   
>  O problema é minimizar | a/b - 5/48 | sujeito a 0 < a < b  e  a+b < 40
>   
>  | a/b - 5/48 | = | 48a - 5b | / | 48b |
>   
>  mdc(5,48) = 1 ==> o menor valor de | 48a - 5b | é igual a 1 e ocorrerá
>para:
>  a = 2 + 5m  e  b = 19 + 48m  ( 48a - 5b = 1 ) para algum m inteiro
>  ou então
>  a = 3 + 5n  e  b = 29 + 48n  ( 48a - 5b = -1 ) para algum n inteiro
>   
>  No primeiro caso, teremos:
>  m = 0 ==> a = 2 e b = 19 ==> | a/b - 5/48 | = | 2/19 - 5/48 | = 1/(19*48)
>= 1/912
>  (todos os outros valores de m produzem valores de a e b que desobedecem
>às restrições)
>   
>  No segundo caso, teremos:
>  n = 0 ==> a = 3 e b = 29 ==> | a/b - 5/48 | = | 3/29 - 5/48 | = 1/(29*48)
>= 1/1392
>  (idem)
>   
>  Logo, o valor de a/b que melhor aproxima 5/48 e obedece às restrições
é
>3/29 ==>
>  3 + 29 = 32.
>   
>  *************
>   
>  A soma de todas as frações de numerador 1 e denominador 2, 3, 4, ...,
n
>é tal que:
>   
>  a)pode ser igual a 1992
>  b) pode ser igual a qualquer inteiro    
>  c)nunca pode ser interiro para qualquer n
>  d)é irracional
>  e) é sempre menor que 1
>   
>  Esse é um problema bem conhecido.
>   
>  Ponha S = 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
>   
>  Agora, sejam:
>  2^k = maior potência de 2 que é <= n
>  e
>  P = 1*3*5*.... = produto dos ímpares positivos <= n
>   
>  Então: 2^(k-1)*P*S é uma soma de (n-1) termos dos quais apenas um não
é
>inteiro (justamente aquele que corresponde ao termo 1/2^k na soma original
>S). 
>   
>  Logo, 2^(k-1)*P*S não é inteiro ==> 
>  S não é inteiro ==> 
>  alternativa (c)
>   
>  *****************
>   
>  Sabendo que na equação SHE=(HE)^2, mesmas letras representam mesmos digitos
>e letras diferentes representam dígitos diferentes, o valor da soma S+H+E
>é igual a:
>   
>  100*S + (HE) = (HE)^2 ==> 
>  HE^2  - HE - 100*S = 0
>   
>  Delta = 1 + 400*S = quadrado perfeito
>   
>  Testando os 9 valores possíveis de S (1,2,...,9), teremos:
>  1 + 400*S = 2401 = 49^2 ==>
>  S = 6
>   
>  Além disso, HE = (1 + raiz(Delta))/2 = (1 + 49)/2 = 25
>   
>  Logo, SHE = 625 ==> S+H+E = 13.
>   
>  R:13
>   
>  Um abraço,
>  Claudio.
>

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