Re: [obm-l] problemas1

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] problemas1

Tem dois de fracoes. Qual deles? O do 5/48 ou o do 1/2 + 1/3 + ... + 1/n?

on 25.03.03 20:52, Daniel Pini at daniel@fnn.net wrote:

> Caro Claudio, fico muito grato com as soluções que vc me enviou. Elas me ajudam bastante a comprender a fundo os exercícios. 
> Infelizmente devo dizer que não consegui entender a sua solução para o problema das frações. Vc poderia enviar uma outra solução ou então detalhar mais como vc fez para resolve-la? Muito grato, Daniel
> > ----- Original Message ----- 
> > From: Cláudio (Prática) <mailto:claudio@praticacorretora.com.br>  
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > Sent: Monday, March 24, 2003 5:20 PM
> > Subject: Re: [obm-l] problemas1
> >
> > Oi, Daniel:
> >  
> > Dentre todas as frações da forma a/b com a, b inteiros; a maior que 0 e menor que b ,e a+b menor que 40, aquela mais próxima de 5/48 é tal que a+b vale: R: 32
> >  
> > O problema é minimizar | a/b - 5/48 | sujeito a 0 < a < b  e  a+b < 40
> >  
> > | a/b - 5/48 | = | 48a - 5b | / | 48b |
> >  
> > mdc(5,48) = 1 ==> o menor valor de | 48a - 5b | é igual a 1 e ocorrerá para:
> > a = 2 + 5m  e  b = 19 + 48m  ( 48a - 5b = 1 ) para algum m inteiro
> > ou então
> > a = 3 + 5n  e  b = 29 + 48n  ( 48a - 5b = -1 ) para algum n inteiro
> >  
> > No primeiro caso, teremos:
> > m = 0 ==> a = 2 e b = 19 ==> | a/b - 5/48 | = | 2/19 - 5/48 | = 1/(19*48) = 1/912
> > (todos os outros valores de m produzem valores de a e b que desobedecem às restrições)
> >  
> > No segundo caso, teremos:
> > n = 0 ==> a = 3 e b = 29 ==> | a/b - 5/48 | = | 3/29 - 5/48 | = 1/(29*48) = 1/1392
> > (idem)
> >  
> > Logo, o valor de a/b que melhor aproxima 5/48 e obedece às restrições é 3/29 ==>
> > 3 + 29 = 32.
> >  
> > *************
> >  
> > A soma de todas as frações de numerador 1 e denominador 2, 3, 4, ..., n é tal que:
> >  
> > a)pode ser igual a 1992
> > b) pode ser igual a qualquer inteiro    
> > c)nunca pode ser interiro para qualquer n
> > d)é irracional
> > e) é sempre menor que 1
> >  
> > Esse é um problema bem conhecido.
> >  
> > Ponha S = 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
> >  
> > Agora, sejam:
> > 2^k = maior potência de 2 que é <= n
> > e
> > P = 1*3*5*.... = produto dos ímpares positivos <= n
> >  
> > Então: 2^(k-1)*P*S é uma soma de (n-1) termos dos quais apenas um não é inteiro (justamente aquele que corresponde ao termo 1/2^k na soma original S). 
> >  
> > Logo, 2^(k-1)*P*S não é inteiro ==> 
> > S não é inteiro ==> 
> > alternativa (c)
> >  
> > *****************
> >  
> > Sabendo que na equação SHE=(HE)^2, mesmas letras representam mesmos digitos e letras diferentes representam dígitos diferentes, o valor da soma S+H+E é igual a:
> >  
> > 100*S + (HE) = (HE)^2 ==> 
> > HE^2  - HE - 100*S = 0
> >  
> > Delta = 1 + 400*S = quadrado perfeito
> >  
> > Testando os 9 valores possíveis de S (1,2,...,9), teremos:
> > 1 + 400*S = 2401 = 49^2 ==>
> > S = 6
> >  
> > Além disso, HE = (1 + raiz(Delta))/2 = (1 + 49)/2 = 25
> >  
> > Logo, SHE = 625 ==> S+H+E = 13.
> >  
> > R:13
> >  
> > Um abraço,
> > Claudio.