[obm-l] 2ª Vingança Olimpica - Problema 5

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairro
como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a
Cledmilson Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um
vendedor para cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da
i-esima linha tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p
crianças. Da mesma forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das
p linhas verticais,sendo que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de
jaca e distribui igualmente entre as p crianças. De quantas maneiras podemos
escolher um grupo de crianças desse bairro para roubar-lhes os doces de modo
que a quantidade de cada tipo de doce roubada seja inteira?[6]

Acho que encontrei a solução. De qualquer jeito, gostaria de comentários,
especialmente se a solução estiver errada.

Se as linhas escolhidas forem i_1, ..., i_r e as colunas  j_1, ..., j_s,
então as quantidades serão:
(i_1 + ... + i_r)/p kg de doce de jiló
e
(j_1 + ... + j_s)/p kg de doce de jaca.

O peso total de cada doce será inteiro se e somente se
{i_1, ..., i_r} e {j_1, ..., j_s} forem subconjuntos de {1, 2, ..., p} cujas
somas dos elementos sejam = 0 (mod p).

Dessa forma, o problema pode ser refraseado como:
Determinar o número de subconjuntos de {1, 2, ..., p}x{1, 2, ...,p} cuja
soma dos
elementos (definida da forma usual: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ) seja um par
ordenado da forma (mp,np) onde m e n são inteiros.

Assim, se M = número de subconjuntos de {1,2,...,p} que tenham a soma de
seus elementos = 0 (mod p), então o número desejado será igual a M^2.

Inicialmente, vamos determinar o valor de M.

Consideremos os subconjuntos de {1,2,...,p}com n elementos ( 1 <= n <= p ).
Seja f(n) = número de tais subconjuntos cuja soma seja = 0 (mod p)

Então: M = f(1) + f(2) = ... = f(p-1) + f(p)

Se n = p, então o único subconjunto com soma = 0 (mod p) será {1,2,...,p}
==>
f(p) = 1

Consideremos agora o caso 1 <= n <= p-1.
Tomemos um subconjunto de n elementos {a(1),...,a(n)} com soma = 0 (mod p).

Para 1 <= k <= p-1, se somarmos k a cada um dos a(i), teremos que:
a(1) + ... + a(n) = kn (mod p)

Como p é primo e n < p, os números 0, n, 2n, ..., (p-1)n formarão um sistema
completo de restos (mod p).

Assim, para cada k ( 1 <= k <= p-1) e a cada subconjunto {a(1), ...,a(n)}com
soma = 0 (mod p), podemos fazer
corresponder exatamente um conjunto cuja soma é = k (mod p).

Logo, o número de subconjuntos de n elementos cuja soma é =  k (mod p), será
o mesmo
para cada k (0 <= k <= p-1)

Como o número total de subconjuntos de n elementos de {1, 2, ..., p} é
C(p,n), teremos que f(n) = C(p,n)/p.

M = f(1) + f(2) +  ... + f(p-1) + f(p) =
= C(p,1)/p + C(p,2)/p + ... + C(p,p-1)/p + 1 =
= (2^p - 2)/p + 1

Logo, M^2 = [(2^p - 2)/p + 1]^2

Obs: Existe uma maneira de roubar um número inteiro de cada tipo de doce que
não foi computada acima. Trata-se de não roubar doce nenhum (ou seja, roubar
zero doces), o que corresponde ao subconjunto vazio de {1,...,p} x
{1,...,p}.
Se incluirmos essa maneira (e acho que devemos, pois é a única moral e
legalmente aceitável), a resposta será:
[(2^p - 2)/p + 1]^2 + 1.

Um abraço,
Claudio.

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