|
Oi Fael:
Aqui vão alguns comentários.
1) Escreve-se a série natural dos números a partir de 1 sem separar os algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 123456789º lugar. Já apareceu um problema parecido na
lista. Veja só:
Quando
escrevemos os números 1, 2, 3, 4, ...., 2002, o 2002º algarismo escrito
é:
Existem 9 números de 1 algarismo, que usam 9
algarismos
Subtotal = 9
Existem 90 números de 2 algarismos, que usam
2*90 = 180 algarismos
Subtotal = 189 (ou seja, o 2o. "9" de 99 é o 189o.
algarismo)
Existem 900 números de 3 algarismos, que usam
3*900 = 2700 algarismos
Subtotal = 2889 > 2002 ==> o 2002o. algarismo
pertence a um número de 3 algarismos.
2002 - 189 = 1813 = 3 * 604 + 1 ==> o
2002.o algarismo é o primeiro algarismo do 605o. número de 3 algarismos, ou
seja, o primeiro algarismo de 704 = "7".
Explicação:
A partir de 100 (inclusive), cada número usa 3
algarismos.
Por exemplo, se quiséssemos o 203o. algarismo,
faríamos 203 - 189 = 14 = 3 * 4 + 2 ==> o 203o. algarismo
é o 14o. algarismo contado a partir do "1"de 100 (inclusive), ou seja, é o
segundo algarismo do quinto número de 3 algarismos, ou seja, o algarismo das
dezenas de 104 = "0".
Podemos checar: 1 0 0 1 0 1
1 0 2 1 0 3 1 "0" 4.
No entanto, estamos procurando o 2002.o algarismo =
1813o. algarismo contado a partir de "1"de 100 (inclusive) = primeiro algarismo
do 605o. número de 3 algarismos = primeiro algarismo de 704 =
"7". -------------
Um raciocínio análogo (mas muito
mais longo, pois 123456789 >> 2002) irá resolver o problema.
resp: 2 ***************
2) Achar um número de quatro algarismos de tal modo que o algarismo das centenas seja a soma dos algarismos das dezenas e das unidades; o algarismo das dezenas seja o dobro da soma dos algarismos dos milhares e das unidades; o quociente da divisão do número pela soma dos valores absolutos de seus algarismos seja 109 e o resto 9, somando 819 ao número obtém-se o número formado com os mesmos algarismos colocados na ordem inversa. Suponha que o número seja (ABCD) = 1000A + 100B + 10C + D
Do enunciado, temos:
B = C + D
C = 2*(A + D)
1000A + 100B + 10C + D = 109*(A + B + C + D) + 9
1000A + 100B + 10C + D + 819 = 1000D + 100C + 10B + A
Agora é só resolver este sistema linear de 4 equações e 4
incógnitas...
resp: 1862 ****************
3) Professor Márcio, certo dia perguntou ao seu aluno se queria comprar uma impressora para conectar ao seu computador. Não precisa se preocupar com o preço, vai lhe custar pouco mais de 700 reais. Quanto a forma de pagamento, você pagará por mês. Cada mês paga o que quiser, e, no mês que não puder pagar, não paga nada. Não haverá juros. O aluno aceitou a proposta, mesmo sem saber o valor exato da compra. De imediato o Professor entregou a impressora e, sem hesitar, o aluno deu por conta 99 reais. Ao receber a nota do saldo devedor o aluno notou com surpresa que sua nova conta devedora era expressa pelos mesmos algarismos da dívida primitiva, apenas trocados de ordem. No mês seguinte, entregou ao Professor mais uma prestação de 180 reais. A dívida restante continuou, ainda, a ser expressa pelos mesmos algarismos apenas permutados... Como descobrir esse mistério e como será feito o cálculo da dívida do aluno ? Preço = (7AB) = 700 + 10A + B
(7AB) - 99 = X,
onde X = (A7B) ou (AB7) ou (B7A) ou (BA7)
(repare que não a alternativa (7BA) não aparece, pois (7AB) - 99 = (7BA)
implica em (AB) = 99 e (BA) = 00 ==> contradição)
(7AB) - 99 - 180 = (7AB) - 279 = Y,
onde Y = (A7B) ou (AB7) ou (B7A) ou (BA7)
e também Y = X - 180
Agora, é só analisar cada uma das 4 possibilidades para X e ver quais que
funcionam. Se duas ou mais funcionarem, então use as expressões para Y.
resp: A dívida é de 746 reais
*************
Obs: Pessoal, as questões supra-citadas são de que área da matemática ? Seria teoria dos números ? Questão 1: Como é só uma questão de enumeração, eu diria que é
de análise combinatória.
Questões 2 e 3: Envolvem representação de números na base 10 e
também (no caso da 2) o algoritmo da divisão com resto - assim, acho que se
encaixam em teoria dos números, mas muito mais na linha recreativa.
Um abraço,
Claudio.
|