Re: [obm-l] Limite basico

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Uma outra forma é usar que:

1/(n+1) +  ... + 1/(2n) = 1 - 1/2 + 1/3 - ... + 1/(2n-1) - 1/(2n)

e lembrar que a soma na direita converge (condicionalmente) para Ln(2).

A identidade sai por indução:
n = 1:  1/1 = 1
n = 2:   1/3 + 1/4 = 7/12 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4

H.I.:
1/(n+1) +  ... + 1/(2n) = 1 - 1/2 + 1/3 - ... + 1/(2n-1) - 1/(2n)

Somando
1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1) = 1/(2n+1) - 1/(2n+2)
de cada lado, obtemos:

Lado Esquerdo: 1/(n+2) + ... + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
Lado Direito: 1 - 1/2 + ... - 1/(2n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2)

Logo, pela HI, prova-se a identidade para n+1.

*************

Sobre o problema da Eureka, eu também estou empacado.
Mas talvez a idéia do Morgado de usar somas de Riemann, mesmo com arccos
(ugh!) possa dar resultado.


Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, March 14, 2003 2:06 PM
Subject: Re: [obm-l] Limite basico


> H(2n) - H(n - 1) = 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/(n+n) =
> = 1/n  * [ 1/ ( 1+ 1/n)  +  1/ (1+ 2/n) +... + 1/ (1 + n/n) ]  cujo
> limite eh
> Integral de 0 a 1 de  dx/ (1+x)  que vale  ln 2.
>
> peterdirichlet1985@zipmail.com.br wrote:
>
> >Quem sabe demonstrar que o limite de H(2n)-H(n-1) e log 2 se n e
arbitrariamente
> >grande e H e a serie harmonica?Perdi essa demonstraçao ha algum tempo.Tem
> >o da Eureka 15 que to tentando fazer mas nada saiu alem do braço.Quem
manja
> >de series de cotangente e por ai vai?
> >somatorio de n=1 ate infinito de arccos (1-2*(4n^4+1)^(-1))=pi/2
> >
> >O primeiro e essencial,o segundo nem tanto.
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> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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