Re: [obm-l] Problemas em aberto IV

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Morgado,

Este problema começou com um email
do prof. Sergei Markelov, de Moscou.

Seu email a respeito segue (a notação
em LaTeX é minha):

Here is my solution to this problem.

tan(3 Pi/11) + 4 sin(2 Pi/11) = sqrt(11)              (1)

Solution: The identity below is true for all s.

(\tan(3s) + 4\sin(2s))^2 = 11 -
\frac{(\tan(8s) + \tan(3s))\cos(8s)}{\sin(s)\cos(3s)}      (2)

Substituting s = Pi/11 into (2) we prove (1) since it is
obvious that
\tan(8s) + \tan(3s) = 0 for s = Pi/11, and
\tan(3*Pi/11) + 4*\sin(2*Pi/11) > 0

By the way, it is not nessasary to use "square"
in prooving formulae.

The following is also true for all s:
tan(3s) + 4 sin(2s) = sqrt(11) -

                                 sin(7 s) + sin(5 s) + sin (3 s)
(cot(6 s) + cot(5 s)) -----------------------------------------------
                       2sin(5s) + sin(3s) - 2sin(s) + sqrt(11) cos(3s)


It is clear that cot(6 s) + cot(5 s) = 0 for s = Pi/11

Another simular identity:
                                                        A
tan(3s) + 4 sin(2s) - sqrt(11) = (tan(8 s) + tan(3 s)) ---
                                                         B
where
A = 2 cos(8 s)
B = 2 cos(6 s) - cos(4 s) - 3 cos(2 s) - sqrt(11) sin(4 s)
+ sqrt(11) sin(2 s) + 2

Also, substituting alpha = 2 Pi/11, 3 Pi/11, 4 Pi/11 and
5 Pi/11 we get 4 additional simular identities for free
for total 5:

tan(3 Pi/11) + 4 sin(2 Pi/11) = sqrt(11)
tan(5 Pi/11) - 4 sin(4 Pi/11) = sqrt(11)
tan(2 Pi/11) - 4 sin(5 Pi/11) = -sqrt(11)
tan(Pi/11) + 4 sin(3 Pi/11) = sqrt(11)
tan(4 Pi/11) + 4 sin(Pi/11) = sqrt(11)

Não contente com isso, escrevi em seguida
pro prof. Rousseau.
Ele me mandou um fonte em LaTeX (com uma
outra solução BEM complicada) muito
comprido que não vale a pena colocar aqui.
Coloco somente o final dele:

{\em Note.}  This problem was given on a 1895
Tripos Exam, and it is in the book by Bromwich
on infinite series (p. 270).

O email que o Rousseau me mandou com o
fonte em anexo segue:

Dear Luis:

I found this solution in the book by Bromwich before
I left for San Diego, and tried to send you a sketch
of it, but there was a computer problem.

<corte>

This is a nice problem since it brings into play some
unexpected bits of mathematics (in particular,
quadratic residues). As you can see, it has been
around for a long time.

Cheers,

Cecil


Coincidentemente, o prof. Markelov me mandou
durante o carnaval outro email. Aí vai:

Dear Luis,

I have found several new trig formulas,
maybe they will be of your interest. Here are 3:


      5          7         10         13         14          1
 cos(-- Pi) cos(-- Pi) cos(-- Pi) cos(-- Pi) cos(-- Pi)  =  --
     33         33         33         33         33         32



    Pi         2            4            8           16
cos(--) - cos(-- Pi) - cos(-- Pi) - cos(-- Pi) - cos(-- Pi)  =
    33        33           33           33           33

      - sqrt(33) - 1
   =  --------------
             4


     5            7           10           13           14
cos(-- Pi) + cos(-- Pi) - cos(-- Pi) + cos(-- Pi) - cos(-- Pi)  =
    33           33           33           33           33

      sqrt(33) - 1
   =  ------------
           4



Sergei Markelov
technical director
Moscow Center for Continuous Mathematical Education www.mccme.ru
markelov@mccme.ru
+7-095-2410500phone
+7-095-2916501fax


Ainda nem tive tempo de escrever-lhe
para agradecer e confirmar como as
identidades devem ser escritas em LaTeX.
Deixo para a imaginação de vcs. A 2a. acho
que deve ser o seguinte:

\cos(\pi/33) - \cos(2\pi/33) - \cos(4\pi/33) -
\cos(8\pi/33) - \cos(16\pi/33)  =
\frac{-\sqrt{33} - 1}{4}.


[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: domingo, 2 de março de 2003 11:12
Assunto: [obm-l] Problemas em aberto IV


> O Luís Lopes mandou ha algum tempo:
> Prove que
> tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11).
>
> Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria
> do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero
> inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui.
> Eh verdade que nao pude dedicar a esse problema o tempo que ele parece
> exigir.
> Morgado
>


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================