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Re: [obm-l] Bem vindo OKAKAMO
Caros colegas,
Em primeiro lugar, gostaria de aproveitar a ocasiao para saudar o grande
Okakamo Kokobongo, que chegou para abrilhantar sobremaneira as discussoes
desta lista!!!!!
Sobre a solucao abaixo eu tenho minhas duvidas: ao fixar uma variavel
diminuimos o numero de variaveis mas nao necessariamente o grau do
polinomio, e podemos perder a condicao de o grau total ser menor que o
numero de variaveis.
Eu faria o 1 assim:nosso numero de solucoes modulo q e' a soma sobre
todos os (x_1,...,x_n) em (Z/qZ)^n de 1-P(x_1,...,x_n)^(q-1), pelo pequeno
teorema de Fermat, mas a soma de cada monomio da expressao acima (digamos
c.x1^i1.x2^i2.....xn^in) e' o mod q, pois e' c vezes o produto dos S(i_j),
onde S(i_j) e' a soma para x em Z/qZ de x^(i_j), que e' sempre 0 se
0<=i_j<q-1 (no caso i_j>0, multiplique todos os x por a onde a e' um cara
invertivel tal que a^(i_j) nao e' 1 mod q; o caso i_j=0 e' trivial) , e por
outro lado algum dos i_j deve ser menor que q-1, pois o grau total e' menor
que n(q-1).
O 2 eu consegui fazer usando mais algebra do que eu gostaria (e e' claro
que precisa supor P monico). Se a e' uma raiz de P entao a^(1/q) pertence a
K:=Q(a) ou [Q(a^(1/q):Q(a)]=q, e no segundo caso P(x^q) e' claramente
irredutivel, pois Q[a^(1/q):Q]=q.n. No primeiro caso, o produto sobre todos
os automorfismos s de K de (x-s(a^(1/q)) e' um polinomio em Q[x], e seu
ultimo coeficiente elevado a q e' (-1)^q.P(0).
Confio em que o Doutor Okakamo tenha uma solucao mais elementar...
Abracos e saudacoes revolucionarias,
Gugu
>
>1)
>
>acho que d=E1 pra resolver assim:
>prove que para polin=F4mios quaisquer de 1 vari=E1vel o n=FAmero de =
>solu=E7=F5es =E9 m=FAltiplo de q
>
>suponha que para polin=F4mios com n=FAmero de vari=E1veis 1 <=3D k <=3D =
>n isso vale
>
>pegue um polin=F4mio de k+1 vari=E1veis p(x1, x2, ..., xk, x[k+1])
>os valores poss=EDveis para x[k+1] s=E3o { 0, 1, 2, ..., q-1 }
>considere as solu=E7=F5es de p(x1, x2, ..., xk, 0), p(x1, x2, ..., xk, =
>1), ... p(x1, x2, ..., xk, q-1), ou seja, no mesmo polin=F4mio p aplique =
>o valor fixado de x[k+1] e assim obtenha um polin=F4mio de k =
>vari=E1veis, que por hip. de indu=E7=E3o possui um n=FAmero de =
>solu=E7=F5es m=FAltiplo de q.
>O n=FAmero de solu=E7=F5es de p passa ent=E3o a ser a soma dos nrs. de =
>solu=E7=F5es de cada polin=F4mio com x[k+1] fixado, e essa soma =E9 =
>m=FAltiplo de q.
> ----- Original Message -----=20
> From: marciocohen@superig.com.br=20
> To: obm-l@mat.puc-rio.br=20
> Sent: Wednesday, February 26, 2003 4:55 PM
> Subject: [obm-l] Bem vindo OKAKAMO
>
>
> Oi Professor,
> Continua dando aulas de combinat=F3ria em cursinhos? H=E1 muito tempo =
>eu n=E3o lia as mensagens da lista, e sua participa=E7=E3o vai dar um =
>novo animo para ela. Tenho dois problemas legais que n=E3o consegui =
>resolver:
> 1) se p =E9 um polin=F4mio de n vari=E1veis, de grau total menor que =
>n, ent=E3o o n=FAmero de solu=E7=F5es de p =3D 0 (mod q) onde q e um =
>n=FAmero primo, =E9 multiplo de q.
> 2) se p(x) =E9 um polin=F4mio irredut=EDvel e (p(0))^1/q n=E3o =E9 =
>inteiro ent=E3o p(x^q) =E9 irredut=EDvel, onde q =E9 um primo =EDmpar.
> Obrigado,
> Marcio
> ___________________________________________________________________
> Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/
> =
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D =
>Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em =
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador =
>desta lista =E9 =
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
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>p(x1, x2, ..., xk, 1), ... p(x1, x2, ..., xk, q-1), ou seja, no mesmo =
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>p aplique o valor fixado de x[k+1] e assim obtenha um polin=F4mio =
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> resolver:</DIV>
> <DIV>1) se p =E9 um polin=F4mio de n vari=E1veis, de grau total menor =
>que n, ent=E3o o=20
> n=FAmero de solu=E7=F5es de p =3D 0 (mod q) onde q e um n=FAmero =
>primo, =E9 multiplo de=20
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> ent=E3o p(x^q) =E9 irredut=EDvel, onde q =E9 um primo =EDmpar.</DIV>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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