[obm-l] Alguns problemas interessantes

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Acho que estes problemas são interessantes:

1) mostre que uma seqüência de números reais é simultaneamente uma PG e
uma PA se, e somente se, a seqüência for constante

2) Determine o termo geral de uma PA na qual a relação entre a soma dos
n primeiros termos e soma dos n termos seguintes independe de n

3) Mostre que toda seqüência de números reais contém uma subsequência
monotônica

4) Mostre que a série Soma (n=2, infinito) 1/[(n-1) Ln(n)] é divergente
(propriamente divergente) (sugestão: Considere o teste da integral)

4) Prove que se f:{a, b) -> R }  é contínua em c em (a,b) e lim x-> c
f'(x) = L, então f'(c) = L. A partir daí, conclua que derivadas jamais
apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua também que se f' é
monotônica em um intervalo I, então f'é contínua em I.

5) Suponhamos que f seja diferenciável em R e seja k<>0. Mostre que:
 - se k>0, então lim x -> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R,  implica
que lim x-> infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k

- se k<0, então lim x-> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, só é
possível se lim x-> e^(kx) f(x) = 0, caso em que temos também lim x->
infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito  f(x) = L/k
sugestão : defina h(x) = e^(kx) f(x) g(x) = e^(kx) . Logo, f(x) =
h(x)/g(x) Use L'Hopital.

Um abraço
Artur

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