Re: [obm-l] Geometria Plana

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro marcus Alexandre:

 

Aqui vai uma solução trigonométrica sem usar cálculo.

 

Suponha que m(AB) = a; m(BX) = b; e m(PX) = x.

 

APB = APX - BPX  ==>

tg(APB) = tg(APX - BPX) = [tg(APX) - tg(BPX)]/[1 + tg(APX)*tg(BPX)]  ==>

tg (APB) = [ (a+b)/x - b/x ] / [ 1 + (a+b)*b/x^2 ] = (a/x) / [ 1 + (a+b)*b /x^2 ]   ==>

ctg(APB) = [ 1 + b*(a+b)/x^2 ] / (a/x) = x/a + (b/a)*(a+b)/x

 

APB é máximo ==> tg(APB) é máxima ==> ctg(APB) é mínima ==> x/a + (b/a)*(a+b)/x é mínima

 

Usando a desigualdade entre as médias geométrica e aritmética de  (x/a)  e (b/a)*(a+b)/x  teremos:

 

(1/2)*[ x/a + (b/a)*(a+b)/x ] >= raiz[ (x/a) * (b/a)*(a+b)/x ] = raiz(b*(a+b)/a^2) = raiz(b*(a+b))/a

 

Igualdade  <==>  x/a = (b/a)*(a+b)/x  <==>  x^2 = b*(a+b)  <==>  x = m(PX) = raiz(b*(a+b))

 

Assim, APB será máximo se m(PX) = raiz(b*(a+b)).

 

 

Nesse caso:

tg(BPX) = b/x = b/raiz(b*(a+b)) = raiz(b/(a+b))  

tg(PAX) = x/(a+b) = raiz(b*(a+b))/(a+b) = raiz(b/(a+b)).

 

Ou, seja: tg(BPX) = tg(PAX) ==> BPX = PAX, conforme você disse.

 

 

Um abraço,

Claudio.

 

----- Original Message -----

From: Marcus Alexandre Nunes

To: Lista OBM

Sent: Monday, February 10, 2003 10:22 PM

Subject: [obm-l] Geometria Plana

Na figura abaixo, qual é a posição de P para que o ângulo com um traço seja máximo? Eu descobri que os ângulos com dois traços devem ser congruentes, mas não consegui demonstrar. Alguém pode me ajudar?

 

 

 

Obrigado.

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Marcus Alexandre Nunes
marcus_math@yahoo.com.br
UIN 114153703

 

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