Re: [obm-l] AB = BA => mesmos autovetores ?

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Duda:

Pra mim, você tem toda a razão. O teorema só vale em geral quando A tem
autovalores distintos (logo, auto-espaços de dimensão 1)- como você mostrou
com seu contra-exemplo -  e o autor deveria ter explicitado esta hipótese ao
invés de tê-la assumido "por conveniência".

É duro ter que se preocupar com estas gafes em livros supostamente
didáticos.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, February 07, 2003 2:24 PM
Subject: [obm-l] AB = BA => mesmos autovetores ?


Caros da lista!

Um resultado do livro "Linear Algebra" do Gilbert Strang diz

"If AB=BA, then this matrices share the same eigenvectors. The key step is
to notice that Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Thus x and Bx are eigenvectors
sharing the same L, and if we assume for convenience that the eigenvalues of
A are distinct -- the eigenspace are all one dimensional -- then Bx must be
a multiple of x. In other words x is an eigenvector of B as well as A, wich
completes the proof."

[Se AB=BA, então as duas matrizes possuem os mesmo autovetores. O ponto é
reparar que Ax=Lx implica ABx=BAx=BLx=LBx. Portanto x e Bx são autovetores
compartilhando o mesmo autovalor L, e se nós assumirmos por conveniência que
os autovalores de A são distintos -- os autoespaços associados são todos
unidimensionais -- então Bx deve ser um múltiplo de x. Em outras palavras, x
é um autovetor de B, o que completa a prova."

Este "por conveniência" deveria ter sido dito como uma das hipóteses, afinal
sem ela o resultado não é correto, pois se

A = [ 1 0 ]
       [ 0 1 ]

B = [ 1 1 ]
       [ 1 1 ]

então AB=BA e para

v =[ 2 ]
     [ 1 ]

tem-se Av = v, mas

Bv = [ 3 ]
        [ 3 ]

e v não é autovetor de B.

Onde esta meu erro de interpretação?

Abraço.
Duda.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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