Re: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

A Resposta esta correta. Eu nao acompanhei todos os seus argumentos, tanto 
por falta de tempo quanto porque ha outras formas mais diretas de 
resolve-lo.

Eu bolei esta questao especificamente para a OBM, nivel medio. Nao sei 
porque a banca nao aceitou propo-la. Nao e uma questao dificil, exige apenas 
um "insight" para o item 1 e, no item 2, exige conhecimentos bem divulgados.

Segue abaixo uma questao questao que eu propus para o pessoal da OBM de 
nivel 2 ( setima/oitava series do 1 grau ) :

Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que 
quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao 
obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de 
todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e 
escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor 
minimo que A pode ter ?

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1243,040203





>From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Quadrados em um Quadriculado - parte 2
>Date: Tue, 4 Feb 2003 12:02:33 -0200
>
>Caro Paulo:
>
>A parte 2 do problema pede para determinar todos os inteiros "p", para os
>quais existe um inteiro positivo "n" tal que:
>
>n * (n+1)^2 * (n+2) / 12 = 10^p  ==>
>n * (n+1)^2 * (n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^p
>
>No entanto, eu achei que a única solução é p = 0 <==> n = 1. Será que eu
>errei em algum lugar?
>
>E dividi o problema em 3 casos: n ímpar, n = 0 (mod 4) e n = 2 (mod 4):
>
>CASO 1: n é ímpar
>n é ímpar  ==>  n+1 é par e n+2 é ímpar.
>
>Assim, (n+1)^2 = 2^(p+2) * 3^x * 5^y   e   n*(n+2) = 3^(1-x) * 5^(p-y)
>com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= p
>
>(n+1)^2 é quadrado ==> p+2 é par, x = 0 e y é par
>
>p+2 é par ==> p é par ==> p = 2q
>y é par ==> y = 2z ==> p-y = 2q-2z
>
>Assim:  n+1 = 2^(q+1) * 5^z    e   n*(n+2) = 3 * 5^(2q-2z)
>
>Temos dois sub-casos a considerar: 5 divide n+1 ou 5 não divide n+1:
>
>Sub-caso 1: 5 | n+1
>5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1  ==>  z = q  ==>
>n+1 = 2^(q+1) * 5^q   e   n*(n+2) = 3  ==> n = 1 ==> q = 0 ==> p = 0
>
>Sub-caso 2: 5 não | n+1
>5 não | n+1 ==> (5,n+1) = 1  ==> z = 0  ==>
>n+1 = 2^(q+1)   e   n*(n+2) = 3 * 5^(2q)  ==>
>n = 2^(q+1) - 1, n+2 = 2^(q+1) + 1  ==>  n*(n+2) = 2^(2q+2) - 1 = 4 *
>^(2q)  -  1  ==>
>3 * 5^(2q)  =  4 * 2^(2q) - 1  ==>  4 * 2^(2q)  -  3 * 5^(2q)  = 1  ==>  q 
>=
>0   ==>
>n+1 = 2  e  n*(n+2) = 3  ==> n = 1 ==> p = 0
>
>
>CASO 2: n = 0 (mod 4)
>n = 0 (mod 4)  ==>  n+1 é ímpar  e  n+2 = 2 (mod 4)  ==>
>
>(n+1)^2 = 3^x * 5^y   e    n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y)
>com 0 <= x <= 1  e  0 <= y <= p
>
>(n+1)^2 é quadrado  ==>  x = 0  e  y = 2z  ==>
>n+1 = 5^z   e   n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z)
>
>Sub-Caso 1: 5 | n+1
>5 | n+1 ==> (5,n) = (5,n+2) = 1 ==> n*(n+2) = 2^(p+2) * 3
>
>Sub-Caso 1.1: 5 | n+1  e  3 | n
>3 | n ==>  (3,n+1) = (3,n+2) = 1 ==> n = 2^(p+1) * 3   e   n+2 = 2  ==> XXX
>
>Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1 e 3 não | n
>3 não | n ==> 3 | n+1 ==> n = 2^(p+1)   e   n+2 = 2*3 = 6  ==> Q(n) = 196 
><>
>10^p  ==> XXX
>
>Sub-Caso 2: 5 não | n+1
>5 não | n+1 ==> n+1 = 1 ==> XXX
>
>
>CASO 3: n = 2 (mod 4)
>n = 2 (mod 4)  ==>  n+1 é ímpar  e  n+2 = 0 (mod 4)  ==>
>
>(n+1)^2 = 3^x * 5^y   e    n*(n+2) = 2^(p+2) * 3^(1-x) * 5^(p-y)
>com 0 <= x <= 1  e  0 <= y <= p
>
>(n+1)^2 é quadrado  ==>  x = 0  e  y = 2z  ==>
>n+1 = 5^z   e   n*(n+2) = 2^(p+2) * 3 * 5^(p-2z)
>
>Sub-Caso 1: 5 | n+1
>5 | n+1  ==>  (5,n) = (5,n+2) = 1  ==>  n*(n+2) = 2^(p+2) * 3
>
>Sub-Caso 1.1: 5 | n+1  e  3 | n
>3 | n  ==>  (3,n+1) = (3,n+2) = 1  ==>  n = 2*3 = 6  ==>  Q(n) = 196 <> 
>10^p
>==> XXX
>
>Sub-Caso: 1.2: 5 | n+1  e  3 não | n
>3 não | n  ==>  3 | n+1  ==>  n = 2  ==>  Q(n) = 6 <> 10^p ==> XXX
>
>Sub-Caso 2: 5 não | n+1
>5 não | n+1  ==>  n+1 = 1  ==>  XXX
>
>**************
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================


_________________________________________________________________
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================