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Ah, p'ra não perder a viagem, aí vai um problema
bem no estilo dos atuais vestibulares: o primeiro item muito fácil e o
segundo, nem tanto:
Dado um
triângulo isósceles ABC inscrito num círculo, com AB=AC, traça-se a ceviana BH
passando pelo centro do círculo. Se a área do triângulo ABH é 20 e a área do
triângulo BCH é 32. Pergunta-se:
a) determine a área do triângulo
ABC? [vale 0,5 ponto]
b) qual o raio do
círculo? [vale 9,5
pontos]
[]s, Josimar
************************* Razoavelmente complicada e com boa chance de ter um
erro nas contas, aí vai minha solução:
a) [ABC] = [ABH] + [BCH] = 20 + 32 =
52
b) Sejam O o centro do círculo circunscrito, M
o ponto médio de BC e P a projeção ortogonal de H sobre BC.
ABH e BCH têm a mesma altura relativa às
respectivas bases AH e HC. Logo, m(AH) / m(HC) = 20/32 = 5/8.
Pondo m(AB) = m(AC) = 13a ==> m(AH) = 5a e m(HC)
= 8a.
Os triângulos AMB e AMC são congruentes e
semelhantes ao triângulo HPC.
Os triângulos BHP e BOM também são
semelhantes.
Além disso, OA e OB são ambos raios do círculo
circunscrito.
Assim, chamando m(OA) = m(OB) = R, m(AM) = 117c e
m(BC) = 26b, teremos:
m(BM) = m(MC) = 13b e m(OM) = m(AM) - M(OA) = 117c - R
(***)
Da semelhança entre AMC e HPC vem:
m(AM)/m(HP) = m(AC)/m(HC) ==> 117c/m(HP) =
13/8 ==> m(HP) = 72c
m(MC)/m(PC) = m(AC)/m(HC) ==> 13b/m(PC) = 13/8
==> m(PC) = 8b ==>
m(MP) = m(MC) - m(PC) = 13b - 8b = 5b ==>
m(PB) = m(MB) + m(MP) = 13b + 5b = 18b
Da semelhança entre BHP e BOM vem:
m(HP)/m(OM) = m(PB)/m(MB) ==> 72c/m(OM) =
18/13 ==> m(OM) = 52c.
Assim, usando (***) acima, teremos: 52c = 117c - R
==> R = 65c (1)
[ABC] = 1/2 * m(AM) * m(BC) = 1/2 * 117c * 26b
= 1521bc = 52 ==>
bc = 4/117 ==> b = 4/(117c)
(2)
Triângulo BMO é retângulo. Logo: m(BO)^2 = m(BM)^2
+ m(OM)^2 ==>
R^2 = (13b)^2 + (52c)^2 = 13^2 * (b^2 +
4^2*c^2) (3)
(1) ==> R^2 = 13^2 * 5^2 *
c^2 (4)
(2) e (3) ==> R^2 = 13^2 * ( 4^2/(117^2 *
c^2) + 4^2*c^2 ) (5)
(4) e (5) ==> 5^2 * c^2 =
4^2/(117^2 * c^2) + 4^2 * c^2 ==>
9 * c^2 = 16 / (117^2 * c^2) ==> c^4
= 16 / ( 117^2 * 9) ==>
c^4 = 2^4 / (13^2 * 3^6) ==>
c = 2 / (3 * raiz(13 * 3))
==>
R = 65c = 130 / (3 * raiz(13 * 3))
==> R = 10*raiz(39)/9
Um abraço,
Claudio.
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