[obm-l] Re: [obm-l] jogo com n�meros

["Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Interessante esse problema. Com uma planilha eu achei o seguinte:

A ganha se escolher: 1, 2, 4, 7, 8, 14
B ganha se A escolher: 3, 5, 6, 10, 12
Ningu�m ganha se A escolher: 9, 11, 13 ou um n�mero >= 15.

Que � o mesmo resultado que voc� achou s� que o vencedor � o que fala o
n�mero repetido (p.ex., se A fala 7, ent�o B fala 14 e A fala 7 ==> A
ganha).

Parece que a sequ�ncia de n�meros torna-se eventualmente peri�dica, e os
ciclos s�o de tr�s tipos:
8 - 4 - 2 - 1 - 8 -.... para um n�mero inicial A1 congruente a 1, 2 ou 4
(mod 7)
3 - 10 - 5 - 12 - 6 - 3 - ... para A1 congruente a 3, 5 ou 6 (mod 7)
7 - 14 - 7 -.... para A1 m�ltiplo de 7.

Assim, resta provar que este � realmente o caso.

CASO 1:  A1 = 0 (mod 7)
A1 = 7 ou A1 = 14 ==>  a sequ�ncia ser� peri�dica desde seu primeiro termo.

A1 = m�ltiplo par de 7 maior que 14  ==>
A2 = A1 / 2, tamb�m um m�ltiplo de 7 ==>
A3 = A1 / 4 < A1 ou A3 = A1 / 2 + 7 < A1, pois A1 > 14

A1 = m�ltiplo �mpar de 7 maior que 7 ==>
A2 = A1 + 7, um m�ltiplo par de 7 ==>
A3 = A2 / 2 = (A1 + 7) / 2 < A1, pois A1 > 7.

Assim, nestes dois casos, teremos A3 < A1. Por indu��o, conclu�mos que a
subsequ�ncia A(2k+1) ser� decrescente at� que algum de seus termos seja
igual a 7 ou 14, a partir do qual a sequ�ncia ser� peri�dica.

Os outros dois casos s�o similares mas um pouco mais trabalhosos por
envolverem 3 classes residuais ao inv�s de uma s�. A id�ia � mostrar que a
sequ�ncia permanece nas mesmas classes residuais (p.ex., se A1 = 1, 2 ou 4
(mod 7), ent�o cada An tamb�m � = 1, 2 ou 4 (mod 7)) e que A(n+2) < An, de
forma que eventualmente a sequ�ncia torna-se peri�dica, repetindo o ciclo
8 - 4 - 2 - 1 - 8 -....  ou o ciclo 3 - 10 - 5 - 12 - 6 - 3 - ... .

Um abra�o,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, January 22, 2003 6:40 PM
Subject: [obm-l] jogo com n�meros


Estou tentando resolver o seguinte problema:

2)Duas pessoas A e B jogam o seguinte jogo: A come�a
escolhendo um n�mero natural e logo, cada jogador na
sua vez, diz um n�mero de acordo com a seguinte regra:

* se o �ltimo n�mero dito for �mpar, o jogador soma 7
a este n�mero;
* se o �ltimo n�mero dito for par, o jogador o divide
por 2.

Ganha o jogador que repete o n�mero que for escolhido
inicialmente. Encontrar todos os n�meros que A pode
escolher para ganhar. Justifique a sua resposta.


Bom, eu fui fazendo as contas bra�almente mesmo pra
ver se encontrava alguma coisa para justificar as
coisas matem�ticamente. S� encontrei que A ganha
apenas se escolher 3, 5, 6, 10 ou 12. E depois disso
d� pra perceber (intuitivamente) que n�o vai mais ter
jeito de A ganhar. Na verdade depois de 14 parece que
nem A nem B ganham (assim como acontece se A escolher
9, 11 ou 13).

Mas eu preciso justificar esse racioc�nio todo e n�o
estou conseguindo. Se algu�m puder me ajudar...

Abra�os,

Rafael.

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