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1º) Efetue explicitamente uma reordenação
dos termos da série 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) -
...
Esse é o exemplo típico de série condicionalmente
convergente. A soma dessa série, com essa ordenação é ln(2). Como a série dos
valores absolutos de seus termos diverge (é a série harmônica), você pode
reordenar estes termos de modo a obter qualquer soma, ou de modo a fazer a série
reordenada divergir.
Suponhamos que você queira obter a soma "S". A maneira de
proceder é a seguinte:
- Some os termos positivos em ordem até que a soma parcial
seja > S
- Em seguida, some os termos negativos em ordem até que a
soma parcial seja < S
- Em seguida, some os termos positivos (ainda não
utilizados) até que a soma parcial seja , de novo, > S.
- E assim por diante, somando alternadamente termos
positivos e negativos, de forma que a soma parcial fique oscilando em torno de
S. Como lim(1/n) = lim(1/(n+1)) = 0, a sequência de somas
parciais convergirá para S.
Por exemplo, suponhamos que você queira ter S =
1.
1 + 1/3 = 4/3 > 1 ==> 1 +
1/3
4/3 - 1/2 = 5/6 < 1 ==> -
1/2
5/6 + 1/5 = 31/30 > 1 ==> + 1/5
31/30 - 1/4 = 47/60 < 1 ==> - 1/4
47/60 + 1/7 + 1/9 = 1307/1260 <
1 ==> + 1/7 + 1/9
1307/1260 -1/6 = 1097/1260 < 1 ==> -
1/6
1097/1260 + 1/11 + 1/13 > 1 ==> + 1/11 +
1/13
Os 10 primeiros termos da série serão:
1 + 1/3 -1/2 + 1/5 -1/4 +1/7 + 1/9 -1/6 + 1/11 + 1/13 -
...
2º) Sejam A,B conjuntos não vazios de
números reais, tais que x Pertence a A e y pertence a B, com (x<=y). Prove
que supA<=infB. Prove que supA=infB, se e somente se, para todo Epsilon>0
dado, podem-se obter x pertencente a A e y pertencente a B tais que: y-
x=epsilon
Acho que a formulação correta deste problema é a
seguinte:
Sejam A e B subconjuntos não vazios de R tais que para
todo x em A e todo y em B vale x <= y.
Prove que supA <= infB.
Suponha que infB < supA.
Então existe z em R tal que infB < z <
supA ==>
z não é cota inferior de B nem cota superior de A ==>
existem x em A e y em B tais que y < z <
x ==>
contradição ==> supA <= infB.
Suponha que supA = infB = a.
Seja eps > 0.
Então, a - eps/2 não é cota superior de A e a + eps/2
não é cota inferior de B ==>
existem x em A e y em B tais que a - eps/2 < x < a
< y < a + eps/2 ==>
y - x < (a + eps/2) - (a - eps/2) = eps.
Suponha que para todo eps > 0, existem x em A e y em B
tais que y - x < eps.
Sabemos que supA <= infB.
Suponha que a desigualdade é estrita (i.e., supA <
infB).
Então existem reais a e b tais que supA < a < b <
infB (por exemplo, tome a = (2supA + infB)/3 e b = (supA + 2infB)/3 ). Seja eps
= b - a.
Então, teremos eps = b - a < infB - supA.
Por outro lado, como para todo x em A e todo y em B
vale x <= supA < infB <= y, teremos, y - x >= infB - supA >
eps ==>
contradição ==>
supA = infB
Um abraço,
Claudio.
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