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A demonstra��o da
volta (no tri�ngulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos �ngulos ABC e ACB,
respectivamente; se BD = CE ent�o ABC � isosceles) sai por meio do uso de dois
teoremas:
1. A bissetriz de um �ngulo divide o lado oposto a
este �ngulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e
2. Lei dos cossenos.
No tri�ngulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD
= CE = x.
Usando o teorema (1), teremos:
D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou
seja:
AD = b*c/(a+c) CD =
a*b/(a+c)
E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou
seja:
AE = b*c/(a+b) BE =
a*c/(a+b)
Agora o passo mais importante da
demonstra��o:
Aplicamos a lei dos cossenos aos tri�ngulos AEC e
BEC, mas ao inv�s de usar os �ngulos ACE e BCE (que seriam a escolha �bvia, j�
que que s�o iguais, pois CE � bissetriz) usamos os �ngulos AEC e BEC, que
s�o suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M.
Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 -
2*AE*CE*cos(AEC)
Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 -
2*BE*CE*cos(BEC)
Ou seja,
b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 -
2*x*b*c/(a+b)*M
a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2 +
2*x*a*c/(a+b)*M
Agora, M n�o tem nada a ver com o que queremos
provar. Assim, a id�ia � fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a
primeira equa��o por a, a segunda por b:
a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 -
2*x*a*b*c/(a+b)*M
b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2 +
2*x*a*b*c/(a+b)*M
E somamos as duas equa��es:
a*b*(a+b) = a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2
Dividindo por a+b:
a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2
Resolvendo para x^2:
x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ]
De maneira inteiramente an�loga, usando os tri�ngulos ADB e BDC (sem
esquecer que BD = EC = x), obtemos:
x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ]
Ou seja,
b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 ==>
b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ]
Suponhamos agora que b > c. Ent�o, por esta
�ltima express�o, teremos que ter, necessariamente:
c/(a+b)^2 > b/(a+c)^2.
No entanto b > c ==> a+b > a+c
==> (a+b)^2 > (a+c)^2 ==> 1/(a+c)^2 > 1/(a+b)^2 ==> b/(a+c)^2
> c/(a+b)^2 ==> CONTRADI��O
Analogamente, se supusermos que b < c tamb�m
cairemos em contradi��o.
A �nica conclus�o poss�vel � que b = c, ou seja, AB
= AC e ABC � isosceles.
----- Original Message -----
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