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Re: [obm-l] Re:
Caro Domingos Jr.:
Tentei trabalhar com a sua idéia dos subconjuntos de {1,2,...,n} contendo n,
mas não consegui estabelecer uma relação de recorrência usável entre T(n) e
T(n+1).
Dado um subconjunto X de {1,2,..,n} com k elementos e com soma S (portanto,
média = S/k), minha idéia foi passar de X para X U {n+1}, com soma S + n + 1
( e média (S+n+1)/(k+1) ) e ver quais destes novos subconjuntos têm média
inteira. O problema é que X U {n+1} pode ter média inteira sem que X o
tenha. Resultado: eu caí numa série de equações de congruência mod k e mod
k+1 e a álgebra ficou medonha....
No entanto, um ataque direto (sobre o valor de P(n)) funcionou e, de quebra,
ainda produziu uma fórmula fechada para P(n), a partir da qual ficou fácil
provar que P(n) - n é sempre par.
P(n) = no. de subconjuntos de {1,2,..,n} com média inteira.
Seja X um subconjunto de {1,2,...,n} com k elementos.
Se X tem média inteira, então a soma S dos elementos de X é divisível por k.
Valor mínimo de S = 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2
Valor máximo de S = (n-k+1) + (n-k+2) + ... + n = k(n-k) + k(k+1)/2
Assim, temos que: k(k+1)/2 <= S <= k(n-k) + k(k+1)/2, ou seja,
(k+1)/2 <= S/k <= n - k + (k+1)/2
Consideremos dois casos - k par e k ímpar:
CASO 1: k par ==> k = 2p com p inteiro positivo:
(2p+1)/2 = p + 1/2 <= S/k <= n - 2p + (2p+1)/2 = n - p + 1/2
S/k é inteiro ==> S/k pertence a {p+1, p+2, ..., n-p}, ou seja,
S/k pode assumir n - 2p = n - k valores distintos.
CASO 2: k ímpar ==> k = 2p - 1 com p inteiro positivo:
((2p-1)+1)/2 = p <= S/k <= n - (2p-1) + ((2p-1)+1)/2 = n - p + 1
S/k é inteiro ==> S/k pertence a {p, p+1, ..., n-p+1}
S/k pode assumir n - 2p + 2 = n - k + 1 valores distintos.
Assim:
P(n) = SOMATÓRIO ( no. de subconjuntos com k elementos e média inteira )
1 <= k <= n
P(n) = SOMATÓRIO (n - k) + SOMATÓRIO (n - k + 1)
1 <= k <= n 1 <= k <= n
k par k ímpar
P(n) = SOMATÓRIO (n - k) + SOMATÓRIO ( 1 )
1 <= k <= n 1 <= k <= n
k ímpar
P(n) = n^2 - n(n+1)/2 + [ (n+1)/2 ]
******************************
* P(n) = n(n-1)/2 + [ (n+1)/2 ] *
******************************
onde [x] = maior inteiro menor ou igual a x.
Agora, voltamos ao problema original. De posse da fórmula para P(n),
obtemos:
P(n) - n = n(n-3)/2 + [ (n+1)/2 ]
n é par ==> n = 2m com m inteiro positivo ==>
P(n) - n = m(2m-3) + m = 2m^2 - 3m + m = 2m(m-1) => Par
n é ímpar ==> n = 2m-1 com m inteiro positivo ==>
P(n) - n = (2m-1)(m-2) + m = 2m^2 - 3m + 2 + m = 2(m^2 - m + 1) =>
Par
Um abraço,
Claudio Buffara.
----- Original Message -----
From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, December 26, 2002 9:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:
> Seja P(n) o numero de subconjuntos de 1,2,...,n com média inteira.
> Prove que P(n)-n é sempre par.
um esboço, gostaria de receber comentários:
seja T(i) o número de subconjuntos de {1, 2, ... i}, contendo i e com média
inteira.
seja A(i) a seguinte proposição:
A(i) : P(i) - i é par e T(i+1) é ímpar
P(1) = 1
P(1) - 1 = 0, que é par
T(2) = 1, que é ímpar, logo A(1) vale.
suponha que A(i) é válido para todo 1 <= i < k
não é muito difícil perceber que P(i+1) = P(i) + T(i+1), pois todo
subconjunto de {1, 2, ... i} é subconjunto de {1, 2, ... i, i + 1} e a média
permanece inalterada.
Os subconjuntos do segundo que não são subconjuntos do primeiro devem
necessariamente conter "i+1" e por tanto são contados por T(i+1).
P(i+1) - (i+1) = P(i) - i + T(i+1) - 1
P(i) - i é par (hip. da indução)
o que implica P(i+1) - (i+1) par se provarmos que T(i+1) é ímpar.
Existe uma relação entre T(i) e T(i+1), podemos vê-la da seguinte maneira:
um subconjunto de {1, 2, ... i} contendo i pode nos ajudar a formar um
subconjunto de {1, 2, ... , i, i + 1} contendo i + 1.
A idéia é simples, subtraindo 1 de um dos elementos e somando-o a i. O
cuidado que deve-se tomar é que para não subtrair de um elemento de forma a
repetir um elemento, por exemplo { 1, 3, 5 } -> { 1, 3 - 1, 5 + 1 }, mas {1,
2, 3} não pode ser levado em outro conjunto de 3 elementos contendo 4!
Acho q a demonstração pode sair mostrando um mapeamento que saia dos
subconjuntos de T(i) e leve-os aos subconjuntos de T(i+1) esse mapa pode ser
parcial, considerando apenas uma espécie simples de trabalhar e deixando
apenas alguns casos patológicos de fora...
Assumindo a conjectura acima (não deve ser difícil provar, mas estou sem
muito tempo...) pelo princípio da indução, vale para todo n >= 1, P(n) - n é
par.
[ ]'s
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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