Re: [obm-l] Teorema de Silvester

["Eduardo Fischer" <sondudu@xxxxxxxxxxxxx>]

Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
Fischer

----- Original Message -----
From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester


> Ola Jose Francisco e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei mais
> atento.
>
> A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
notacao
> semelhante. E necessario corrigir apenas :
>
> 1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N > 2,
> pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
>
> 2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa "Q" como pe da
> perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de "Q".
>
> 3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
> haver mais de um !
>
> A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
> homogeneas.
>
> A generalizacao do Conway e a seguinte :
>
> Seja X um conjunto con N elementos (N>2) e sejam A1, A2, ...,Am
subconjuntos
> proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
> precisamente um dos Ai. Entao M >= N.
>
> Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o
> pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 5,0145,271202
>
> >From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
> >Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
> >
> >Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais
> >longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e
chega
> >a uma contradição:
> >
> >Dado o conjunto "C" dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares
( 
> >P
> >, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o ponto (P, Q e R
> >pertencentes a "C").
> >
> >Este conjunto não é vazio, pois nem todos os pontos de "C" pertencem a uma
> >mesma reta.
> >
> >Tome o par cuja distância do respectivo ponto à respectiva reta é a menor
> >possível - digamos ( P , QR ). Então QR será a reta desejada.
> >
> >Seja P1 o pé da perpendicular à QR traçada a partir de P. Se houver um
> >terceiro ponto do conjunto "C" na reta QR então pelo menos dois destes
> >pontos estarão de um mesmo lado de P1.
> >
> >Re-nomeando os pontos, se necessário, chame de Q o ponto mais próximo de P1
> >(Q pode até coincidir com P1) e R o outro ponto situado do mesmo lado que Q
> >em relação a P1.
> >
> >Neste caso, o par ( Q , PR ) será tal que a distância de Q a PR será menor
> >do que a distância de P a QR (faça o desenho), o que contradiz a escolha
> >inicial do par ( P , QR ).Ola Jose Francisco e demais
> >colegas desta lista ... OBM-L,
> 
> >
> >Curiosidade: Existe também o resultado dual:
> >Se dispusermos de N (N>2) retas em um plano tais que nem todas passam por 
> >um
> >mesmo ponto, então existirá um ponto deste plano no qual incidirão
> >exatamente duas retas.
> >
> >Um abraço,
> >Claudio.
> >
> >----- Original Message -----
> >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Thursday, December 26, 2002 8:50 PM
> >Subject: [obm-l] Teorema de Silvester
> >
> >
> >Santa Rita,
> >
> >Não nos mate de curiosidade.
> >
> >Qual a demonstração de Conway?
> >
> >E, se não forem necessários muitos bits para descrevê-la - acho que não
> >serão, já que uma demonstração divinamente elegante tem que ser
> >necessariamente breve - também a de Kelly.
> >
> >JF
> >
> >PS: Uma pequena e humilde contribuição para a elegância vernácula: onde 
> >está
> >"Se dispormos N ( N > 2 ) pontos..." deveria estar "Se dispusermos N (N>2)
> >pontos..."
> >
> >JF (aluno destacado do Mestre Aurélio Buarque de Holanda - a est
ória do
> >"destacado" certamente seria considerada off topic pelo N)
> >
> >----- Original Message -----
> >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Wednesday, December 25, 2002 2:53 PM
> >Subject: [obm-l] Um livro Mararavilhoso !
> >
> >
> > > Ola Pessoal,
> > >
> > > Ha pouco tempo atras eu ganhei um livro e - apos estuda-lo - cheguei a
> >(...)
> > >
> > > Como exemplo cito o TEOREMA DE SILVESTER :
> > >
> > > Se dispormos N ( N > 2 ) pontos em um plano de forma que eles nao
> >estejam
> >em
> > > uma mesma reta, entao havera uma reta que contera EXATAMENTE dois
deles.
> > >
> > > OU SEJA :
> > >
> > > Nao e possivel dispor N pontos ( nao alinhados )em um plano de forma
que
> >que
> > > toda reta que passe por dois deles passe tambem por um terceiro.
> > >
> > > A prova que o Kelly da e simplesmente divina ( digna, portanto, de
estar
> >n'O
> > > LIVRO do Erdos ), mas o Conway fez uma generalizacao e provou esta
> > > generalizacao em ... 1 linha ! Nao ha palavras para descrever tamanha
> >beleza
> > > !
> > >
> > > Esse livro e realmente uma sinfonia e so mesmo Beethoven poderia fazer
> >algo
> > > melhor.
> > >
> > > Um Grande Abraco a Todos !
> > > Paulo Santa Rita
> > > 4,1651,251202
> >
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