Re: [obm-l] ----> Questão IME

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Eh verdade, foi mal. De A(A^2-kI)=0 so da pra tirar que ou det(A)=0, ou
det(A^2-kI)=0.


Mas me parece que eu nao precisava desse primeiro passo.


Se A+I nao for inversivel, entao (A+I)x=0, para algum x nao nulo. E isto e
equivalente a Ax=-x. Que implica A^3x=-A^2x=Ax=-x.


Mas por outro lado, A^3x=kAx=-kx. Logo, x=kx, o que contradiz k<>1.



Salvador




On Tue, 19 Nov 2002, Augusto César Morgado wrote:

> Epa!  A pode não ser identicamente nula e A^3 = kA e A^2 diferente de 
> kI. Por exemplo, considere A 2x2 com primeira coluna  2  2    e segunda 
> coluna  0  0. A não é identicamente nula, A^3 = 4A  e A^2 não é igual a 4I.
> Morgado
> 
> 
> Salvador Addas Zanata wrote:
> 
> >
> >Se A^3=kA, entao se A nao for identicamente nula, A^2=kI.
> >
> >
> >Suponha que (A+I) nao seja inversivel. Entao o sistema 
> >
> >
> >(A+I)x=0 tem uma solucao x nao-identicamente nula.
> >
> >
> >Assim, Ax=-x => A^2x=-Ax=x
> >
> >
> >Mas por outro lado, A^2x=kx, logo kx=x, absurdo pois x nao e identicamente
> >nulo e k<>1.
> >
> >
> >
> >
> >Abraco,
> >
> >Salvador
> >
> >
> >
> >
> >On Tue, 19 Nov 2002, cfgauss77 wrote:
> >
> >>  Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na 
> >>qustão do IME abaixo.
> >> --> Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, 
> >>e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, 
> >>prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz 
> >>identidade nxn.
> >>
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