Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

     Bom, nao encontrei nada sobre transformacoes projetivas aqui em casa,
mas consegui ler um pouco sobre transformacoes de Mobius..
     Dada um transformacao de mobius w = (az+b)/(cz+d), vi que ela mantem o
circulo unitario sse existe k complexo de modulo 1 e e complexo tq w =
k(z-a)/(1-a'z).
     Mas nao consigo entender pq uma transformacao desse tipo preserva
elipses.. Qdo eu pego uma eq. do tipo |z-a|+|z-b|=real +, a,b complexos e
troco z por T-1(w), a eq. resultante nao parece ter a forma de uma elipse..
aonde estou errando?
Alem disso, soh me parecem haver duas constantes complexas, a e k a serem
determinadas na transformacao acima.. Soh com isso eu consigo levar os 4
pontos de intersecao nos vertices de um retangulo com lados paralelos aos
eixos?

     []'s
    Marcio

> Minha solu��o � a seguinte:
>
> Existe uma transforma��o projetiva que leva uma elipse no c�rculo
> unit�rio (ali�s basta pegar uma transla��o seguida de uma transforma��o
> linear). Depois disso existe uma outra transforma��o projetiva
> que mantem o c�rculo unit�rio e leva os quatro pontos de interse��o
> nos v�rtices de um ret�ngulo com os lados paralelos aos eixos
> (de fato, transforma��es projetivas que respeitam o c�rculo unit�rio
> funcionam como transforma��es de M�bius no c�rculo unit�rio devidamente
> identificado com R pela proje��o estereogr�fica, que ali�s tamb�m �
M�bius).
> Com isso as duas elipses s�o da forma x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
> Agora o problema fica f�cil.
>
> Eu mostrei esta solu��o para o Luciano mas ele acabou n�o me mostrando
> a dele (parece que era mais longa).
>
> []s, N.
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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