Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 29, 2002 at 01:55:31PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:
> 
> Alo Shine,tudo blz?Bem,eu tava pensando nessa ideia de projetar,mas e essa transforma�ao de elipse no eixo da circunferencia(ou o contrario?)?
> Te mais!!!!Ass.:Johann 
>  Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> wrote:Oi Humberto e demais amigos da lista!!
> 
> Tudo bem?
> 
> Puxa, eu tive a id�ia de considerar o produto dos
> auto-valores tamb�m, mas como demorei muito no caso
> n=3 (pensei demais nos casos pequenos...), acabei n�o
> tendo tempo para finalizar a id�ia... eu pensei na
> exist�ncia de um auto-vetor positivo, mas acabei n�o
> conseguindo nem ter tempo para pensar nessa parte do
> problema.
> 
> No 6 eu projetei uma das elipses numa curcunfer�ncia.
> Mas o que n�o sabia era que dava para fazer uma
> transforma��o de modo que as elipses virem uma
> circunfer�ncia e uma elipse cuja reta suporte de um
> eixo passa pelo centro da circunfer�ncia. A� ficava
> mais f�cil. Mas, pelo que soube, existe uma solu��o
> projetiva (n� Luciano? ;) ).

Minha solu��o � a seguinte:

Existe uma transforma��o projetiva que leva uma elipse no c�rculo
unit�rio (ali�s basta pegar uma transla��o seguida de uma transforma��o
linear). Depois disso existe uma outra transforma��o projetiva
que mantem o c�rculo unit�rio e leva os quatro pontos de interse��o
nos v�rtices de um ret�ngulo com os lados paralelos aos eixos
(de fato, transforma��es projetivas que respeitam o c�rculo unit�rio
funcionam como transforma��es de M�bius no c�rculo unit�rio devidamente
identificado com R pela proje��o estereogr�fica, que ali�s tamb�m � M�bius).
Com isso as duas elipses s�o da forma x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
Agora o problema fica f�cil.

Eu mostrei esta solu��o para o Luciano mas ele acabou n�o me mostrando
a dele (parece que era mais longa).

[]s, N.
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