Re: [obm-l] OBM-u Questao 5

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi Humberto,
   Somatsrio com i = a ati b de  1/i > ln(b+1) - ln(a) nao e' sempre verdade
se a e b nao sao inteiros (se a=1+epsilon e b=2-epsilon a soma e' 0 mas o
lado direito nao). Voce sabe consertar isso ?
   Abracos,
           Gugu

>
>    Oi Cohen,
>
>  Como vai? Resolvi a questão 5 assim, e acho que tá certo: Vamor provar que:
>Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m + 1), com m um natural
>fixado, onde \x/ significa a parte inteira de x. Desta forma se a série
>converge para L, então:
>  L = Somatório com n >= 1 de 1/a(n) = Somatorio com m >= 0 de Somatório com
>(\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > Somatório com m >= 0 de 1/a(m+1) = L, logo
>teríamos: L > L, logo a série diverge.
>  Para provar que: Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m + 1),
>basta ver que se \e^m/ <= n < \e^m+1/, então a(n) <= n * a(m+1) e como
>Somatório com i = a até b de  1/i > ln(b+1) - ln(a) se a >= 1. Logo:
>  Somatório com (\e^m/ <= n < \e^m+1/) de 1/a(n) > 1/a(m+1)*(ln(e^(m+1)) - ln
>(e^m)) = 1/a(m+1).
>
>  Falow, Humberto.
> --- mcohen@iis.com.br escreveu: > Como que o pessoal aqui da lista foi na
>Olimpiada Universitaria? O que voces
>> acharam da prova? 
>> 
>> Ateh agora nao consegui entender o enunciado da questao 5 direito.. Muito
>> estranho aquilo.. como vc pode ter (ln...lnx) k(n) vezes se k(n) eh o maior
>> inteiro k talque ln..ln(n) eh maior que 1? Dependendo do x, o ln...lnx pode
>> nem mesmo estar definido..
>> 
>> Mesmo que fosse n ao inves de x (dentro do produtorio), a questao parece ser
>> bem dificil.. Alguma ideia?
>> 
>> Considerando a dificuldade em saber o enunciado da 5, e a minha incapacidade
>> de pensar na 6 (e um arrependimento por nao ter estudado em casa as anotacoes
>> da aula de geometria projetiva da semana olimpica :) ), pude dedicar umas 3hs
>> da minha prova a questao 4 (resolver x=sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))).. Depois de
>> ficar tentando fatorar o polinomio resultante de se elevar tudo ao quadrado
>> diversas vezes, acabei tendo a sorte de fazer x=2cosy (engracado q foi a
>> mesma coisa q eu usei na obmu do ano passado.. 1+cosy = 2cos^2(y/2)..)..
>> 
>> Mandem seus comentarios sobre a prova..
>> 
>> Abracos,
>> Marcio
>> 
>> 
>> 
>> 
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