A soluçao do problema 6 e bem legal.Como eu tenho uma falta de paciencia para escrever aquela complicaçao toda(to com isso na cabeça ate agora),minha dica e:pinte o tabuleiro com tres cores em diagonal,de modo que os caras andem sempre trocando de cor.A partir dai,prove que o policia usa o teletransporte duas vezes pra ganhar vantagem.Com isso tu resolve a letra a),e mais trabalho ce faz a b).PARA A B:tente ver como os movimentos do ladrao o afastam ou o aproximam do policia. Depois eu escrevo bonitinho.
João_Gilberto_Ponciano_Pereira
Olá! Só tive tempo para dar uma olhada no ex. 2 e 5. Como o 5 vc já resolveu
com o pessoal do Etapa...
O 6 não consegui resolver... Vc tem a solução??
PROBLEMA 2
Dado qualquer conjunto de 9 pontos no plano entre os quais não existem três
colineares, demonstre que para cada ponto P do conjunto, o número de
triângulos que têm como vértices três dos oito pontos restantes e P no seu
interior, é par.
1- Seja p0 o ponto em estudo, e A, B, C e D, 4 dos 8 pontos restantes,
ordenados de forma que o quadrilátero ABCD não cruza seus lados. O conjunto
destes pontos pode formar 4 triângulos distintos (comb(4,3)).
1.a - Caso o quadrilátero seja convexo: Chamemos de M o ponto de intersecção
das duas diagonais AC e BD. Neste caso, ou o ponto p0 está fora do
quadrilátero ABCD, ou está contido num dos triângulos AMB, BMC, CMD ou DMA.
Neste caso, o ponto estará contido em 2 triângulos ( se p0 contido em AMB
então P0 está contido em ABC e ABD)
1.b - Caso contrário: Seja D o ponto do quadrilátero contido em ABC. Neste
caso, ou o ponto p0 está fora do triângulo ABC, ou está contido num dos
triângulos ADB, BDC ou CDA. Neste caso, o ponto estará contido em 2
triângulos ( se p0 contido em ADB então P0 está contido em ABC e ABD)
Logo, o número de triângulos que têm como vértices três de quatro pontos
distintos e P no seu interior, é par.
2 - Seja K a combinação de quatro dos oito pontos distintos. Neste caso,
existem comb(8,4) = 70 combinações possíveis de P. Seja N a soma do número
de triângulos formados por todas as combinações de K. Como N é a soma de
números pares, N é par.
Cada combinação de K formará 4 triângulos distintos entre si. Porém, se
criarmos o conjunto de todos os triângulos para todas as combinações de K,
teremos 70*4 = 280 triângulos. Sabe-se também que o mesmo triângulo se
repete exatamente 5 vezes neste conjunto, pois dado um conjunto de 3 pontos
p1, p2 e p3, eles estarão presentes nas conbinações C com p4, p5, p6, p7 e
p8.
Logo, sabe-se que mod(N,5) = 0 e mod(n,2) = 0, portanto mod(N,10) = 0, e que
o número de triângulos que têm como vértices três dos oito pontos restantes
e P no seu interior = N/5, que é par.
-----Original Message-----
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[mailto:peterdirichlet2002@yahoo.com.br]
Sent: Tuesday, October 08, 2002 2:19 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Teorema de Donald ; Olimpiada Iberoamericana de Matematica
2002
O MINISTERIO DA SAUDE ADVERTE:LER E-MAILS LONGOS PODE PROVOCAR SONOLENCIA
FORTE E GRAVES ALUCINAÇOES.
Bem gente,ja saiu os enunciados da Olimpiada Iberoamericana desse ano.Vamos
resolve-los?Eu resolvi o segundo dia junto com a turma do Etapa.
Ah,tambem tem o problema do Donald Knuth(que o Edmilson propos numa OBM fase
3 e o Tengan corrigiu):
Imagine uma festa com N homens e N mulheres.Nessa festa cada homem faz o
seguinte procedimento:pega um papelzinho e escreve os nomes das mulheres em
ordem estritamente crescente de preferencia.Cada mulher faz o mesmo com os
homens.
Vamos definir casamento instavel assim:
Temos os casais (A,B) e (C,D),em que A e C sao os homens.Se A gosta mais de
D do que de B,e D gosta mais de A do que de C,entao o casamento (A,B) e
instavel (e o casamento (C,D) tambem)(suponha que o fogo corre solto nesta
festa,ou seja se um casamento for instavel a traiçao e instantanea).
Demonstre que pode-se arranjar os casais de modo que todos os casamentos
sejam estaveis.
QUEM RESOLVER GANHA UM PARABENS!!!!!!!
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