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Sejam a1, a2 e a3 as raízes de
x^3+px+q.
Por causa das divisibilidades, 2 delas são raízes de
x^2+ax+b e outras duas são raízes de x^2+rx+s. Digamos que a1 é a raiz comum.
Então:
a1 e
a2 são raízes de x^2+ax+b: a1+a2=-a e
a1a2=b
a1 e
a3 são raízes de x^2+rx+s: a1+a3=-r e
a1a3=s
Só que
a1+a2+a3=0 (vide a primeira equação).
Então
a2=-(a1+a3)=r, a3=-(a1+a2)=a e a1=-(a2+a3)=-a-r. Portanto,
b=a1a2=-r(a+r).
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Para
ser chato, é possível que a1 e a2 sejam raízes de AMBOS os polinômios de segundo
grau, já que eles não disseram que estes eram distintos. Neste caso a=r, b=s e a
relação b=-r(a+r) é equivalente a b=-2a^2, que simplesmente não tem que
valer!
Abraço,
Ralph
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