RE: [obm-l] 5 da Ibero 2002

[João Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@xxxxxxxxxxxxx>]

Pessoal

(A) Supondo que para qualquer n de 1 a 2002 a(n) > 1,  temos que 0 < a(n+1)<
a(n), logo 1/a(n+1) > 1/a(n)

(B) Se a(n+1) = a(n) - 1/a(n), temos que:

1) a(n+1) - a(n) = -1/a(n)
2) a(n+2) - a(n+1) = -1/a(n+1)
...
m) a(n+m+1) - a(n+m) = -1/a(n+m)

logo:

a(n+m+1) - a(n) = - (1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m))

e por (A), temos:

a(n+m+1) - a(n) < - (m / a(n))

a(n+m+1) < a(n) - (m / a(n))

a(n+m) < a(n) - (m / a(n))

para n=1 e m = 56 , temos:

a(1 + 56) < 56 -1, ou seja, a(56 + 1)< 56 - 1.

Repetindo para n = 56 + 1 e m = 55, temos:

a( 1+ 56 + 55 ) < 56 - 2

Repetindo 56 vezes, temos que:

a (1 + (1 + 2 + ... + 55 + 56)) < 56 - 56

a( 1 + (57 *56)/2) < 0 

a(1597) < 0 , oq invalida a hipótese (A), logo existe a(n) com n < 2002 de
valor negativo.

-----Original Message-----
From: Carlos Yuzo Shine [mailto:cyshine@yahoo.com]
Sent: Thursday, October 03, 2002 1:09 AM
To: teoremalista@yahoogrupos.com.br; obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] 5 da Ibero 2002


Oi gente!

O que vou escrever revela um pouco do problema 5 da
Ibero, então se você não quiser ler o que vem abaixo,
pare por aqui. Não vou resolver o problema, mas vou
dizer algo sobre ele que pode influenciar quem está
pensando nele. Vou deixar um espaço abaixo, OK? Ah,
sim, o problema 5 da Ibero é:

Dada a seqüência a(n), onde a(1) = 56 e a(n+1) = a(n)
- 1/a(n), provar que existe um k, 1 <= k <= 2002, tal
que a(k) < 0.






















































OK, acho que já deu para sair da primeira tela do
computador.

No problema 5 da Ibero, dá para trocar o 56 do a(1)
por 62 (pelo menos a solução que fiz dá para 62). Eu
fiz um programinha no computador e vi que o menor
valor inteiro para o a(1) para o qual a(k) >= 0 para
todo k entre 1 e 2002 é 64. Nada mau, né? O meu método
só falha para a(1) = 63... mas acho que dá para
adaptá-lo (meio que na força bruta) para que dê certo.

Não vou dar minha solução por enquanto, para que vcs
possam pensar um pouco também. Na verdade, não é muito
difícil.

[]'s
Shine

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