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Oi para todos
Na mensagem anterior eu escrevi o que eu coloquei
na prova, essa foi uma idéia que só me ocorreu agora:
n será inteiro para r(n^2/3^k).r((n-3)/3^k) = 3^k -
22 e k > ou = 3, se n é inteiro para k=3. Porquê se k=3 implica em n não ser
inteiro então prova-se por indução que k>3 implica em n não ser inteiro. Para
k=3 . r(n^2/27).r((n-3)/27) = 5 . 5 é um número primo então um dos 2
fatores vale 1 e o outro 5.
Se r(n^2/27) = 1 => n^2 = 27a + 1, em que a é
natural, então r((n-3)/27) = 5 => n-3 = 27b + 5 => n = 27b + 8.
Portanto:
729b^2 + 432b + 64 = 27a + 1 => 729b^2 + 432b +
63 = 27a = 27(27b^2 + 16b) + 9.7 = 27a. Logo a e b não podem ser inteiros ao
mesmo tempo.
Se r(n^2/27) = 5 => n^2 = 27a + 5 e também que
r((n-3)/27) = 1 => n-3=27b+1 => n=27b+4 .Portanto:
27(27b^2 + 8b) +16 -5 = 27a. Logo a e b não
podem ser inteiros ao mesmo tempo. Isso implica que para k=3, n não é inteiro,
logo por indução: k=m+3 implica em n não ser inteiro (m é natural). Se m é
natural e k é diferente de m+3, logo k<3. Portanto o valor máximo de k é
2.
ex: Para n^3 - 3n^2 +22 ser divisível por 9, n pode
ser igual a 5: 125 - 75 + 22 = 72 = 8.9.
Ainda quero saber se a solução é válida ou se só
marquei um ponto (por ter achado k=2 sem uma boa explicação)
André T.
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