RE: [obm-l] Axioma da Escolha

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> Apenas lembrando, porque costuma-se realçar quando se usa o axioma da
> escolha, há uma corrente filosófica de matemáticos que não aceitam o
> axioma
> da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os
intuicionistas). O
> axioma da escolha nos garante a existência de objetos que não podemos
> determinar quem, exatamente, ele é. Esse tipo de coisa os
construtivistas
> não aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca
> saberemos quem é, ou onde está? O teorema de Weierstrass, que diz que
toda
> função real contínua sobre um intervalo fechado assume máximo, não é
> aceita
> pelos construtivistas, pois não podemos exibir esse ponto de máximo.
[Artur Costa Steiner] 

Ms este teorema é um dos mais importantes da matemática
 Por
> outro lado não podemos dizer que não existe ponto de máximo, pois isso
> seria
> garantir que todos os pontos não são de máximo, o que não devemos
> assegurar.
> Por isso na lógica intuicionista "A ou não A" pode ser falso, e A não
é
> equivalente a "não não A".
[Artur Costa Steiner] 

Acho que é também importante lembrar que muitas provas na matemática
basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, várias das provas dos
teoremas ligados à  compaticidade de espaços métricos enquadram-se nesta
categoria, como o que afirma que S é compacto <===> S é sequencialmente
compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ninguém
as questiona.

    ,
>    Todas essas complicações geradas pelo construtivismo fizeram que
esse
> caísse um pouco no esquecimento. Hoje parece que há poucos matemáticos
> construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que
gerou
> o
> construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos
com
> coisas obtidas não construtivamente. Enfim, há sempre uma fagulha de
> construtivista em nós. É certo que os mais radicais não admitem nem
prova
> por absurdo, mas o axioma da escolha já seria o maior crime que se
poderia
> cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstrações, é sempre
bom
> ressaltar o que é construtivo e o que não é. Por exemplo, o Paradoxo
de
> Banach-Tarski, sobre a duplicação da esfera, citada pelo Paulo, é
> não-construtiva.
>     Sobre o problema da violência, resta um consolo: se o conjunto dos
> bandidos, dado pelo problema, já estiver bem ordenado (por exemplo, se
é
> enumerável), não precisamos do axioma da escolha, e não cometeremos
uma
> "violência" contra os intuicionistas. O difícil vai ser achar bandidos
bem
> ordenados...
> 
[Artur Costa Steiner] 
Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha?
Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos
infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, então não
precisamos do axioma?

Artur
> 

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