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Re: [obm-l] Grau 4(soluçao do Gugu
Valeu,Santa Rita!!!!!!Apenas como complementaçao,vou apresentar a soluçao do Gugu(esse mesmo,o Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira).
SOLUÇAO_GRAU 3
i)Sejam x_1,x_2 os zeros de P(x)=x^2+bx+c.Seja r_n(a)=raiz nª de a. Seja y=r_3(x_0)+r_3(x_1).Ache r,s em funçao de b,c para os quais y^3+ry+s=0
ii)Inverta o processo anterior para achar uma raiz da cubica.
SOLUÇAO_GRAU 4
i)Sejam x_1,x_2,x_3 os zeros de P(x)=x^3-ax^2+bx+c. Seja y=r_2(x_0)+r_2(x_1)+r_2(x_3).Ache k,n,m em funçao de a,b,c para os quais y^4+ky^2+my+n=0.
ii)Inverta o processo anterior para achar uma raiz da quartica.
Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu:
Ola Daniel e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Seja aX^3 + bX^2 + cX + d = 0 uma equacao do 3 grau. Usando a transformacao
aditiva Y=X+K, isto e, substituindo todos os X da equacao por X=Y-K, voce
vai recair numa equacao do 3 grau em Y.
Os coeficientes desta ultima equacao serao funcoes de "K". Imponha que o
coeficiente do termo em X^2 seja zero. Isso vai permitir a voce encontrar
"K" e reduzir a equacao a forma :
eX^3 + fX + g = 0
dividindo tudo por "e", chegaremos a uma equacao da forma :
X^3 + pX + q = 0
Tudo significa dizer que resolvendo a equacao acima voce tera resolvido a
equacao geral do terceito grau. Para resolve-la, seja :
X = A+B => X^3 = A^3 + 3(A^2)B + 3A(B^2) + B^3
X^3 = 3AB(A+B) + A^3 + B^3 como A+B=X
X^3 = 3ABX + A^3 + B^3
X^3 - 3ABX -(A^3+B^3) = 0
Daqui tiramos que :
p = -3AB => AB=-p/3 => (AB)^3=-(p/3)^3
q = -(A^3 + B^3) => A^3 + B^3 = -q
Fazendo A^3=u e B^3=v
uv=-(p/3)^3
u+v=-q
logo : u(-q-u)=-(p/3)^3 => u(u+q)=(p/3)^3
u^2 + qu -(p/3)^3=0
logo : u= [ -q +- raiz_2(q^2 + 4(p/3)^3) ]/2
introduzindo o 2 no radical :
u=(-q/2) +- raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ]
se voce usar o sinal posivito para "u", obtera "v" com o negativo e
reciprocamente. Podemos, portanto, por :
u=(-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] e
v=(-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ]
Mas A^3=u => A=raiz_3{ (-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] } e
B^3=v => B=raiz_3{ (-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }
Como X=A+B, segue que :
X = raiz_3{ (-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] } +
raiz_3{ (-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }
Chamando (q/2)^2 + (p/3)^3 = DELTA
X = raiz_3[(-q/2)+ raiz_2(DELTA)] + raiz_3[(-q/2)-raiz_2(DELTA)]
Essa e a formula de Tartaglia. O DELTA, tambem chamado de discriminante, e
tao importante para as equacoes do 3 grau como o seu homonimo e para as do 2
graus. Em particular :
DELTA < 0 => tres raizes reais e distintas.
DELTA = 0 => ao menos duas raizes iguais
DELTA > 0 => uma unica raiz real.
Vemos que so tem sentido usar estas expressoes em conjuncao com os numeros
complexos, que justamente tratam dos assuntos mais interessantes...
Como voce ve, nao e nada espantoso a deducao destas formulas e podemos com
tranquilidade mudar o percurso em varios pontos de descobrir varias outras
maneiras de expor a solucao. Qualquer uma e valida. E para um Matematico do
seculo XV ou XVI isto poderia ser considerado um grande feito ...
Bom, agora, usando este fato, seja :
ax^4 + bX^3 + cX^2 + dX + e=0
Usando a transformacao aditiva Y=X+L, isto e, substituindo X=Y-L voce tera
uma equqcao do 4 grau em Y. os coeficientes serao funcao de L. Imponha que o
termo em Y^3 seja zero, isto dara uma equacao da forma :
fX^4 + gX^2 + hX + i=0
coloque assim :
fX^4 + gX^2 = -hx -i
Agora introduza duas variaveis ( grandezas desconhecidas ) M e N :
fX^4 + MX^2 + gX^2 + N = MX^2 - hX + N - i
fX^4 + (M+g)X^2 + N = MX^2 - hX + (N - i)
E diga : Esses dois trinomioas serao quadrados perfeitos se os seus
discriminantes forem nulos. Isto vai fornecer o sistema :
(M+g)^2 - 4fN=0
h^2 - 4M(N-i)=0
Na primeira : N = [(M+g)^2]/4f. Colocando isso na segunda :
h^2 - 4M{[(M+g)^2]/4f - i}=0
Aqui esta ! Voce agora tem uma equacao do 3 grau em M, pois os outros
valores sao todos conhecidos. Calculando M pela formula que vimos acima
deduzimos imediatamente o N, usando N = [(M+g)^2]/4f.
Para cada M e N que satisfaz o sistema, a equacao :
fX^4 + (M+g)X^2 + N = MX^2 - hX + (N - i)
Se transforma em dois trinomios quadrados perfeitos. A extracao das raizes
vai gerar duas equacoes do 2 grau, cada uma, a priori, com 2 raizes. Isso
implica em 12 raizes ! Calma ! Elas estarao duplicadas : no final voce vai
encontrar apenas as quatro raizes da equacao do 4 grau.
Como voce ve, nao e nada muito dificil. Tanto e assim que eu pude colocar
tudo numa mensagem despretensiosa como essa : e apenas burocracia e
malabarismo.
Exercicio : Sintetizando ou Extendendo alguns dos passos acima, descubra
novas formas de resolucao para estas equacoes.
Um Grande Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
6,1954,230802
> Daniel escreveu: Olá a todos,
> Gostaria de saber qual a fórmula resolutiva de equações
>de grau 4 completa, em função dos coeficientes: ax^4 +
>bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 x = ? Daniel CARA,SUA
>PERGUNTA MATA!Esse problema e pesadinho.Ja vi a soluçao do Gugu para a de
>terceiro grau.Quando eu tiver paciencia,escrevo.
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