[obm-l] Re: [obm-l] Duas questões do IME.

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Bruno e demais
colegas desta lista...OBM-L,

1) Seja C = { C1, C2, C3, ..., C12 } uma enumeracao dos cavaleiros. 
Precisamos determinar o numero de sub-conjuntos de C que tem 5 elementos e 
nos quais nao existam dois elementos consecutivos.

Claramente que aqui devemos considerar C1 como consecutivo de C12.

Estas observacoes deixam evidente que trata-se de uma aplicacao imediata do 
segundo lema de Kaplanski. Portanto :

g(12,5) = [12/(12-5)]*BINOM(12-5,5) = 36

2)Ao fim de uma partida e atribuido a cada clube que dela participou uma 
pontuacao : 1, se ganhou; 1/2, se empatou e 0 se perdeu. A SOMA DOS PONTOS 
ATRIBUIDOS E SEMPRE UM !

Isto significa que a soma dos pontos ganhos de todos os clubes e igual ao 
numero de partidas disputadas. Ora, se N for a quantidade de clubes que nao 
sao do Rio, N+1 e a quantidade de partidas que cada clube disputou. Como ha 
N+2 clubes, o total de partidas e :

[(N+2)*(N+1)/2]

O total de pontos e : 8 + N*K. Portanto :

8+N*K = [(N+2)*(N+1)/2]
16+2N*K = N^2 + 3N + 2  => 2NK=N^2 + 3N - 14
2K = (N+3) - 14/N  => 14/N = (N+3) - 2K

Qualquer que seja K ( 5/2, 7, etc ), 2K e um inteiro e (N+3) tambem. Logo, 
14/N deve ser inteiro. Assim N deve pertencer ao conjunto :

{-14,-7,-2,-1,1,2,7,14}

A - Os numeros negativos sao absurdos, pois N e o numero de clubes do 
campeonato que nao sao do Rio.
B - 1 ou 2 sao absurdos pois 8 foi a soma dos pontos ganhos dos clubes do 
Rio.

Precisamos decidir, portanto, entre N=7 ou N=14.

N=7

Consistente ! Por que ? Porque teriamos K = 4 e N+2=9 clubes. Cada clube 
jogaria 8 partidas. IMAGINE um campeonato nos moldes do enunciado do 
problema no qual todos os jogos terminem empatados ...

N=14

Consistente ! Por que ? Porque teriamos K=8 e N+2=16 clubes. Cada clube 
jogaria 15 partidas. IMAGINE um campeonato nos moldes do enunciado do 
problema no qual cada "clube de fora do Rio" ganhou 8 partidas e perdeu 7, 
um clube do Rio ganhou 8 partidas e perdeu 7 e o outro clube do Rio perdeu 
as 15 partidas.

Segue que participaram do torneio 9 ou 16 clubes.

AFIRMACAO : Se um clube participou de um campeonato no qual jogou com cada 
participante uma unica vez e ele teve, neste campeonato, "D" derrotas e "E" 
empates, entao, a QUANTIDADE MAXIMA DE OUTROS CLUBES que podem ter tido uma 
pontuacao igual ou superior a dele, independente da premiacao dada a 
Vitorias e empates, e "2D+E", desde que este numero nao entre em conflito 
com a quantidade de jogos (D+E+V).

A afirmacao acima e Verdadeira ou Falsa ?

Com os melhores votos
de paz profunda, sou

Paulo Santa Rita
1,1951,250802

>Olá pessoal da lista,gostaria de uma ajuda nessas duas questões do IME.
>
>1) 12 cavaleiros estão sentados em torno de uma mesa redonda .Cada um dos 
>doze cavaleiros considera seus dois vizinhos como rivais.Deseja-se formar 
>um grupo de 5 cavaleiros para libertar uma princesa.Nesse grupo não poderá 
>haver cavaleiros rivais .Determine de quantas maneiras é possível escolher 
>esse grupo.
>
>2) Dois clubes do Rio de Janeiro participaram de um campeonato >nacional de 
>futebol de salão onde cada vitória valia 1 ponto,cada empate meio ponto e 
>cada derrota zero ponto.Sabendo que cada participante enfrentou todos os 
>outros apenas uma vez,que os clubes do Rio de Janeiro totalizaram,em 
>conjunto, 8 pontos e que cada um dos outros clubes alcançou a mesma 
>quantidade k de pontos, determine a quantidade de clubes que participou do 
>torneio.
>                                 Um abraço,
>                                Bruno Moss.




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