Re: [obm-l] Trigonomagia...

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 00:13 05/08/02 +0000, you wrote:
>  Prove q...
>     ...arctg1/2 + arctg1/5 + arctg1/8=45º
>                                                Um abraço galera!

Não vou resolver tudo, só vou dar uma dica: use números complexos! Se vc 
conhece o argumento de w e de z, qual o argumento de wz? Agora observe que 
(2+i)(5+i)(8+i)=65+65i

Uma outra solução seria provar que tan(arctg1/2 + arctg1/5 + 
arctg1/8)=tan(45)=1, o que não é suficiente (pois a função tangente não é 
injetora) mas é um grande passo. Como existe uma fórmula para tan(a+b), 
existe uma para tan(a+b+c), que eu acho que deve ser

tan(a+b+c)=(tan a + tan b + tan c - tan a tan b tan c)/(tan a tan b + tan b 
tan c + tan c tan a)

e agora basta abrir tudo e fazer umas continhas e vc vai ver que 
tan(arctg1/2 + arctg1/5 + arctg1/8)=65/65=1 (curioso aparecer o 65 de novo 
nao?) e agora sabemos que
arctg1/2 + arctg1/5 + arctg1/8 = pi/4+k*pi. Mas 0<arctg1/2 + arctg1/5 + 
arctg1/8<arctg 1 + arctg 1+ arctg 1=3pi/4<5pi/4, logo arctg1/2 + arctg1/5 + 
arctg1/8=pi/4 e acabou.

Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite





>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================