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Segue a minha solução para
a quinta questão dessa IMO. Confiram :),( se alguém tiver
paciência ). (f(x)+f(z))*(f(y)+f(t)) = f(xy-zt) + f(xt+yz)
Primeiramente faça x=z=0 : 2f(0) * ( f(y) +
f(t) ) = 2f(0), logo ou f(0)=0, ou f(y)+f(t) = 1, para todos y,t reais e em
particular quando y=t, temos f(y)=1/2, para todo y real, o que é uma
solução particular. Assuma então f(0)=0.
Faça z=t=0 : f(xy)=f(x)*f(y). Então,
fazendo y=1, f(x)=f(x)*f(1), logo temos f(1)=1 ou f(x)=0, para todo x, o que
é outra solução particular. Faça y=t=1 e x=0 : 2f(z) = f(-z)+f(z), logo f é par.
Então, precisamos nos preocupar apenas com a parte positiva.
Na equação inicial, temos :
f(xy)+f(xt)+f(yz)+f(zt) = f(xy-zt) + f(xt+yz), então
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a-d)+f(b+c), desde que ad=bc. Colocando a=c=mx, b=d=x ,
temos 2f(mx)+2f(x)=f((m-1)x) + f((m+1)x), o que prova por indução
que f(mx)=m^2 * f(x), para todo m inteiro. Logo f(m)=m^2, para todo m inteiro.
f(p/q)=f(p)/f(q), pois é multiplicativa, logo f(p/q)=(p/q)^2,
então f(m)=m^2, para todo m racional. Vamos mostrar que f é
monótona crescente em R+. Faça y=x,t=z : (f(x)+f(z))^2 =
f(x^2-z^2)+f(2xy). Faça y=z,t=x : (f(x)+f(z))^2=f(x^2+z^2). Juntando as
duas últimas, temos que f(a)=f(b)+f(c), quando a^2 = b^2+c^2, logo f
é crescente (pois se a>b>0, então existe c>0 tal que
a^2=b^2+c^2, logo f(a)=f(b)+f(c) >f(b), pois f(c)=f(sqrt(c))^2>=0. Em
particular f é positiva.).
Como f é crescente em R+ e f(m)=m^2 nos
racionais, então é fácil mostrar que f(x)=x^2 para todos x
em R+, logo para todos x em R, pois f é par. Sejam a(n) e b(n) duas sequências de racionais convergindo para um
irracional x>0, tais que 0<a(n)< x <b(n). Então como f
é monótona crescente, a(n)^2 <= f(x) <= b(n)^2 e fazendo n
tender a infinito, temos a(n) e b(n) tendendo a x, logo f(x)=x^2 também
nos irracionais.
Resposta : f(x)==0 ; f(x)==1/2 ; f(x)==x^2
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Abraços,
Villard
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