|
1) Olhe mod6. Se p é primo então ou p=3
ou p==+-1mod6. Neste último caso, temos p^2+8==3mod6, logo p^2+8 é
múltiplo de 3 nesse caso. Então só resta p=3, logo p^2+8=17
q é primo. e p^3+4=31 q é primo. Acabou. Aqui é
fácil ver que você deveria primeiro achar todos os p tais que p e
p^2+8 são primos, pois senão teríamos uma máquina
para gerar primos muito simples.
2) a=pu e b=pv, com mdc(u,v)=1.Então E = mdc(a^3,b) =
mdc(p^3*u^3,pv). Agora é fácil... Seja j o expoente de p na
fatoração prima de v.
Se j=0, E=p., pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=1
Se j=1, E=p^2, pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=p
Se j=2, E=p^3, pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=p^2
Se j>2, E=p^3, pois pv tem ao menos 4 fatores p e nenhum fator comum com
u^3.
Abraços,
Villard
|