[obm-l] Re:

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Fernanda Medeiros" <femedeiros2001@hotmail.com>
>   2.Determine o menor nº natural n tal que a soma dos quadrados dos seus
> divisores (incluindo 1 e n)é igual a (n+3)^2

Oi Fernanda,

chame s(n) = soma( d divide n : d^2 ), essa função é multiplicativa: se m e
n não possuem divisores maiores que 1 em comum então s(mn) = s(m) s(n).

Primeiro caso. n é uma potência de um primo
n = a^k então
(a^k + 3)^2 = s(a^k) = (1 + a^2 + a^4 + ... + a^(2k)) = (a^(2k+2) -
1)/(a^2 - 1), daí
(a^2 - 1)(a^k + 3)^2 = (a^(2k+2) - 1)
(a^2 - 1)(a^2k + 6a^k + 9) = a^(2k+2) + 6a^(k+2) + 9a^2 - a^2k - 6a^k + 9 =
a^(2k+2) - 1, llogo
6a^(k+2) + 9a^2 - a^2k - 6a^k = - 10
a^(2k) - 6a^(k+2) + 6a^(k) - 9a^(2) = 10 (*)
-se a>6 e k>2 então
a^(2k) - 6a^(k+2) + 6a^(k) - 9a^(2) =
a^(k+2)*( a^(k-2) - 6 ) + a^2*( 6a^(k-2) - 9 ) > 5*1 + 5*1 = 10, logo não
vale (*)
-se a>2 e k>3 então
a^(k+2)*( a^(k-2) - 6 ) + a^2*( 6a^(k-2) - 9 ) >= 9*1 + 3+1 > 10, logo não
vale (*)
Daí n deve ser da forma


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