Re: [obm-l] matrizes

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Rafael,

o produto de matrizes obedece às propriedades.
(AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
daí segue que se
AB = C e B é inversível então
(AB)B^(-1) = CB^(-1), multipliquei à direita por B^(-1)
A(BB^(-1)) = AI = A = CB^(-1)

Você está usando (erradamente) a comutatividade: AB = BA, que como o Morgado
falou não é válida para todos os pares de matrizes A e B.

Uma das utilidades das matrizes é para representar transformações lineares
entre espações vetoriais de dimensão finita. Por exemplo: se L: R^n -> R^n é
uma transformação linear, então existe uma matriz A tal que
L(v) = Av para todo v de R^n
e reciprocamente a função v->Av é uma tranformação linear para qualquer
matriz A.

Nesse sentido vale a seguinte propriedade
Sejam L e U duas tranformações lineares de R^n em R^n e A e B suas
respectivas matrizes, ou seja
L(v) = Av e U(v) = Bv para todo v de R^n
é fácil de demonstrar que a função composta L(U) é ainda uma transformação
linear de R^n em R^n e logo existe uma matriz C tal que
L(Uv) = Cv para todo v de R^n
é interessante observar que C é justamente C = BA.
Essa é a grande motivação para se definir o produto de matrizes do modo como
é definido. Das regras de composição de funções se sabe que L(U(V)) =
(L(U))(V) do que segue a propriedade A(BC) = (AB)C para matrizes. Da
definição (L + U)(V) = L(V) + L(U) para funções quaisquer segue (A + B)C =
AC + BC. Finalmente a propriedade A(B + C) requer a linearidade de A, a
saber, A(u + v) = Au + Av.

Todas essas informações básicas e muito mais coisas você vai encontrar num
bom livro de álgebra linear como o do Elon Lages Lima ou do Hoffman e Kunze.

Um abraço!

Eduardo Casagrande Stabel.
Porto Alegre, RS.


From: "rafaelc.l" <rafaelc.l@bol.com.br>


 Se A.B=C, então A=C.B^(-1) e B=A^(-1).C, sendo A e B
matrizes inversíveis. Mas poderia ser A=B^(-1).C e B=C.A^
(-1)?


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> Rafael,
>
> se A.B = C e B é inversível A = C.B^(-1), e se A é inversível B =
A^(-1).C.
> Uma matriz X é inversível, por definição, se existe uma matriz Y tal que
X.Y
> = I = Y.X. Portanto só se pode falar em matrizes inversíveis quando as
> matrizes são quadradas. Nem toda matriz quadrada é inversível. Não é
costume
> se dividir matrizes.
>
> Tu fez a implicação
> M^t = M^(-1) implica M^t.M = I
> se for isso, está certo. Primeiro você precisa supor que M é inversível
daí
> em
> M^t = M^(-1) multiplique à direita por M
> M^t.M = M^(-1).M = I.
>
> O livro de Álgebra Linear do Elon Lages Lima vai te fornecer muito mais
> esclarecimentos.
>
> Eduardo Casagrande Stabel.
> Porto Alegre, RS.
>
> From: "rafaelc.l" <rafaelc.l@bol.com.br>
> > Pode-se falar em divisão de matrizes?
> >  tipo: sejam A, B, C matrizes quaiquer. Se AxB=C então
> > A=C/B e B=C/A?
> >    Ou se M é uma matriz de ordem 3, sendo [M]t=[M]-1,
> > então [M]t=I/M, logo [M]tx[M]=I. Operar desta maneira é
> > valido para todos os casos?
> >
> > OBS: [M]t é matriz transposta de M
> >      [M]-1 é matriz inversa de M
> >
> >
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