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[obm-l] Re: [obm-l] questões básicas
Carissimo Jose Francisco,
Tudo Legal ?
1) Nao existe diferencas entre POSTULADO E AXIOMA. Os dois sao fatos que
admitimos como evidentes e que, em determinado sistema formal, nao e
passivel de demonstracao. E interessante registrar que aquilo que e AXIOMA
ou POSTULADO em um sistema pode se tornar um TEOREMA em outro. A titulo de
exemplificacao, considere os AXIOMAS de PEANO para a teoria do numeros. Em
determinados sistemas eles sao AXIOMAS, em outros, TEOREMAS.
Historicamente, Euclides fazia ou ntendia a fazer uma diferenca entre
POSTULADO E AXIOMA. Postulado era a verdade matematica evidente que nao
precisava de demonstracao ( Ex : Por um ponto fora de uma reta dada so e
possivel tracar uma unica reta paralela a reta dada ). Axioma era o
PRINCIPIO DE PENSAMENTO evidente que nao precisava de demonstracao ( Ex : o
todo e maior que qualquer de suas partes )
A diferenca que Euclides ensaiou adotar nao vingou e, em verdade, era um
preludio das ligacoes da Matematica com a logica, coisa que ele nao tinha
como abordar.
2) Em essencia nao ha diferenca : ambos sao afirmacoes sobre os objetos do
sistema que precisam ser demonstradas. Todavia, na pratica, usa-se lema para
designar uma VERDADE MENOR que prepara ou antecede a demonstracao de uma
verdade maior ou mais importante. Neste sentido, tomando um TEOREMA
PRINCIPAL como origem conceitual, podemos dizer que o LEMA esta para o
TEOREMA assim como o TEOREMA esta para o COROLARIO ( Nome bonito, nao ?
Ainda vou ter um cachorro com esse nome )Um COROLARIO e uma consequencia
direta e imediata do teorema, de demonstracao facil e que, sempre, vem apos
o teorema.
3) DEPENDE ... Para a teoria dos numeros e um postulado ou axioma. Para a
logica-matematica um teorema, para algumas construcoes um objeto.
4) Todas as quatro sao ramos da matematica. Ramos que se interpenetram e se
influenciam. Talvez a topologia seja a mais fundamental de todas... Tao
fundamental que so agora a gente comeca a entender como usar os argumentos
topologicos de forma produtiva. NAO HA DEFINICAO FORMAL DE QUALQUER RAMO DA
MATEMATICA ... Quer saber o que ele e ? Estude-o. Pratique-o. viva-o !
Existe uma enormidade de outros ramos !
5)Sim, existe. Em Matematica isso sao os objetos indefinidos. Por exemplo :
na geometria, ponto, reta e plano. Na teoria dos conjuntos, o conceito de
conjunto, na aritmetica, o conceito de numero.
Vale destacar o seguinte :
Num sistema formal nos temos os objetos indefinidos e as regras de
construcao, com as quais podemos construir LEGALMENTE novos objetos. E como
os POSTULADOS E AXIOMAS, que precisam ser manipulados PELAS REGRAS DE
INFERENCIA para que possamos provar os teoremas.
ABRE PARENTESES :
Todas as suas interrogacoes se prendem ao ramo da Matematica chamado de
Logica-Matematica. Um bom livro sobre este tema e :
O Teorema de Godel e a Hipotese do Continuo
Fundacao Calouste Gulbekian
Compilacao de Manoel Lourenco
E interessante ressaltar que a percepcao de um objeto ou de uma propriedade
e uma atividade dinamica do intelecto ... A pessoa percebe os objetos e
sente as leis, assim como vemos os objetos do mundo fisico e suas leis
reciprocas. As provas e formalizacoes sao etapas posteriores do processo
criativo.
A titulo de exemplificacao, Riemann, na dissertacao que lhe assegurou uma
Catedra em Gottingen ( e que tinha Gauss com ouvinte ) enunciou varias leis
e "definiu" vagamente varios objetos, sem apresentar uma unica prova ou
definir formalmente qualquer dos objeto... Zero pra ele ? Nao ... Dez ! A
conferencia em foco e considerada por muitos como a mais bela e importacao
prelecao que ja ocorreu em toda a historia da Matematica. E ele ganhou a
catedra em Gotingen !
Imagina se ao inves de ser Gauss ou seus amigos que estavam assistindo a
prelecao fossem algum formalista ou Prof Pitonisa que, EM NOME DA MATEMATICA
( Que ironia ... ), so aceita aquilo que esta bonitinho prontinho, de terno
e gravata, provado nos minimos detalhes !
Oh ! Sorvei, olhos meus, o que vos der a vida ... A copiosa beleza no
Universo Difundida !
FECHA PARENTESES
Um Abraco
Paulo Santa Rita
2,1739,070702
>From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] questões básicas
>Date: Mon, 1 Jul 2002 15:35:07 -0300
>
>Aproveitando que ontem e hoje foram discutidas questões básicas neste
>forum,
>coloco algumas perguntas.
>
>1. Qual a diferença entre um postulado e um axioma? Se esta pergunta
>equivale a "qual a diferença entre um periquito e uma banana", isto é, se
>são duas coisas totalmente diferentes, então qual a definição de postulado
>e
>de axioma?
>
>2. Qual a diferença entre um lema e um teorema? Idem.
>
>3. O que é "1 + 1 = 2"? Uma definição, uma propriedade, um axioma? Se a
>resposta for "um axioma", como é que os matemáticos viviam antes de ele ser
>proposto?
>
>4. Aritmética, álgebra, geometria, topologia são considerados "ramos" da
>matemática? Qual a definição formal de cada um deles? Existem outros? Algum
>não é?
>
>4. Na matemática existe o que os físicos chamam de "conceito primitivo" ou
>"grandeza fundamental", isto é, uma "coisa" que não pode ser definida, tal
>como tempo, distância, massa?
>
>JF
>
>PS para N: Não precisa perder a esportiva se estas perguntas já foram
>feitas
>e respondidas neste forum nos anos de sua existência ("sua" refere-se ao
>forum, não a N). Basta dizer o ano em que foram.
>
>
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