Re: [obm-l] (nenhum assunto)

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

 

Calcule S_n = \sum_{k=1}^n cos(k alpha) para n >= 1

e ache F(n+1) - F(1), onde F(k) é uma antidiferença para

cos(k alpha). Então

 

F(k) = {sen[k-1/2]alpha} / {2sen(alpha/2)} . Colocando

alpha=2pi/(2n+1), obtemos S_n = -1/2.

 

Para n=3, S_3 = cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) = -1/2.

 

Conclua que

 

cos (pi/7) - cos (2.pi/7) + cos (3.pi/7) = 1/2

 

[]'s

Luís

-----Mensagem Original-----

De: Marcelo Rufino de Oliveira

Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Enviada em: segunda-feira, 20 de maio de 2002 08:03

Assunto: Re: [obm-l] (nenhum assunto)

Considere o podlinômio P(x) = x^7 - 1,  que possui as 7 seguintes raízes complexas:

z(k) = cos (2.k.pi/7) + i.sen (2.k.pi/7),   k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

 

Como o coeficiente de x^6 em P(x) é 0 então a soma das raízes de P(x) é 0, implicando que:

 

cos 0 + cos (2.pi/7) + cos (4.pi/7) + cos (6.pi/7) + cos (8.pi/7) + cos (10.pi/7) + cos (12.pi/7) = 0  

 

Como  2.pi/7 + 12.pi/7 = 2.pi   =>   cos (12.pi/7) = cos (2.pi/7)

Como  4.pi/7 + 10.pi/7 = 2.pi   =>   cos (10.pi/7) = cos (4.pi/7) = - cos (3.pi/7)

Como  6.pi/7 + 8.pi/7 = 2.pi   =>   cos (8.pi/7) = cos (6.pi/7) = - cos (pi/7)

Portanto:

1 + cos (2.pi/7) - cos (3.pi/7) - cos (pi/7) - cos (pi/7) - cos (3.pi/7) + cos (2.pi/7) = 0   =>

cos (pi/7) - cos (2.pi/7) + cos (3.pi/7) = 1/2

 

 

Até mais,

Marcelo Rufino de Oliveira

 

----- Original Message -----

From: DEOLIVEIRASOU@aol.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Saturday, May 18, 2002 6:15 PM

Subject: [obm-l] (nenhum assunto)

(IMO-1963) PROVE QUE COS(PI/7)-COS(2PI/7)+COS(3PI/7)=1/2.COMECEI A FAZER E FOI FICANDO GRANDE...CADA VEZ MAIOR...RISOS...ALGUEM CONSEGUE ACHAR UM TRUQUIINHO AI??
                                    VALEU!
                                              CROM