Re: [obm-l] Conicas e Latus Rectum (erro na demonstração do Eduardo Wagner)

[Luiz Antonio Ponce Alonso <lponce@xxxxxxxxxxxx>]

Aos amigos da lista:
Com relação a pergunta feita pelo amigo Marcio (mcohen)
Como mostrar que a menor corda focal de uma elipse  é sempre
perpendicular ao eixo maior?

Na demonstração feita pelo famoso Eduardo Wagner dada abaixo, acredito
ter ocorrido dois pequenos
erros decorrente da rapidez com que respondemos estes emails.

Primeiro: Um pequeno erro  ao isolar r, obtendo  r = (b^2)/(a (1 -
e.cost)).
ao invés de r = (b^2)/(a (1 + e.cost)), donde conclue-se que r é mínimo
se.e somente se, t = 0.graus
e não no caso t = 90 graus como mencionado pelo Eduardo Wagner.
Assim, da demonstração do Eduardo podemos concluir que   r = PF sera
minimo se, e somente se,
t = 0 graus.
Segundo: O minimo de r , r = PF, não implica na corda focal mínima.
Assim, não tem sentido procurar
o mínimo de PF, com o intuito de conseguir com isso determinar em que
condições ocorre a  corda
focal mínima.
Este erro ocorreu por que o Eduardo provavelmente estava preocupado
apenas com o comprimento
mínimo de PF  e  tinha esquecido que o objetivo do problema era outro.

A demonstração deste teorema e de outros,  mencionado pelo amigo Andre
Araujo em outro email,
sobre elipse você pode encontrar no livro do Caronet sobre Cônicas e e
em menor quantidade no
livro Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora mir, como mencionado
pelo Paulo Santa Rita.
Eu tenho também um arquivo com vários destes teoremas e suas respectivas
demonstrações em
meu computador que posso passar por email para qualquer um interessado.
Verificarei com o Nicolau a possibilidade de deixar uma cópia em sua
homepage, para um futuro
interesse.

Uma demonstração possivel que a menor corda focal é perpendicular ao
eixo maior

Vejamos abaixo uma possível demonstração da proposição do Marcio dada
pela pergunta acima.
Inicialmente aproveitemos as considerações dadas pelo Eduardo Wagner..
Ponha a elipse nos eixos na posicao canonica: centrada na origem e com o

eixo maior sobre o eixo X, ( o que não perde em generalidade).
Sejam: a o semi eixo maior, b o menor,  F = (c, 0) o foco da direita e,
e = c/a, a sua excentricidade.
Seja P = (x, y) um ponto qualquer da elipse.
Usando a definição de elipse, PF + PF' = 2a, mostre que PF = a - ex.
Seja PF = r e seja ainda t o ângulo XFP, assim a abscissa do ponto P é
dada por: x = c + rcost
Tem-se então a partir da relacâo anterior: r = a - e(c + rcost), o que
dá
PF = (a - ec) / ( 1 + ecost )           ... (1)

Sendo  PP’ a corda focal relativa ao foco F, em que  t é a medida do
ângulo XFP.
tem-se ainda de  (1) que
P´F = (a - ec) / ( 1 + ecos(180+ t ) =  (a - ec) / ( 1 - ecost )   ..
(2)

Nestas condições, uma corda focal PP´ qualquer,tem o seu comprimento
dado pela   PF + PF´ .
Portanto, em função de t , decorre de  (1)  e  (2)  que
PP´= 2(a-ec)/ ( 1 - (ecost)^2)
consequentemente PP´ sera mínimo quando t = 90 graus, ou seja,
quando a  corda focal  PP´ da elipse  for  perpendicular ao seu eixo
maior.
com isto chegamos ao fim da demonstração desejada pelo Marcio.
Desculpe-me por qualquer erro
Um abraço de seu amigo
PONCE
<lponce@terra.com.br>

Eduardo Wagner wrote:

  >

  > Como mostrar que a menor corda focal de uma elipse eh sempre
perpendicular
  > ao eixo maior?
  >
  Vamos la.
  Ponha a elipse nos eixos na posicao canonica: centrada na origem e com
o
  eixo maior sobre o eixo X. Sejam: a 0 semi eixo maior, b o menor F =
(c, 0)
  o foco da direita e,  e = c/a, a excentricidade. Seja P = (x, y) um
ponto
  qualquer da elipse.
  Usando a definição de elipse, PF + PF' = 2a, mostre que PF = a - ex.
  Seja PF = r e seja ainda t o angulo XFP.
  Tem-se entao a partir da relacao anterior:
  r = a - e(c + rcost), o que da
  r = (b^2)/(a (1 - e.cost)).
  Logo, r = PF sera minimo quando t = 90 graus.

  Abraco,

  Wagner.

  > Esse problema me persegue ha bastante tempo ... qdo eu era aluno no
2o
  > grau, li em algum lugar essa propriedade... q dentre todas as cordas
da
  > elipse passando por um determinado foco, aquela q fosse
perpendicular ao
  > eixo maior tinha comprimento minimo.. parece q existem resultados
analogos
  > para as outras conicas.. Eu nao lembro aonde li isso, mas nunca
encontrei a
  > demonstracao. e agora eu precisei demonstrar isso e nao consegui. se
alguem
  > puder ajudar, agradeco!! (tentei inicialmente colocar o comprimento
da
  > corda em funcao do angulo x com a horizontal, e depois analisar a
funcao
  > f(tan(x)).. a expressao era um pouco grande (4 fracoes racionais de
grau <=
  > 2, duas delas ao quadrado) mas nao oobtive sucesso...
  >
  > Obrigado,
  > Marcio
  >
  >
  >
  >
  >
=========================================================================

  > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
  >
=========================================================================


=========================================================================

  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
  =====================================


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================