Re: [obm-l] ??

["Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@xxxxxxxxxxx>]

Oi Eder.
Uma das piores coisas em Matemática é quando superestimamos um problema, 
isto é, quando começamos imaginando que ele é muito difícil, mas na verdade 
não é. Isto faz com que busquemos soluções sofisticadas, usando ferramentas 
pesadas da Matemática, o que nos desvia de caminhos mais naturais. Com esta 
questão me ocorreu isto. Fiquei uns 10 minutos, usando todo o ferramentário 
do cálculo diferencial, provando a injetividade da função em certos 
intervalos, calculando limites, na tentativa de provar a existência da raiz 
via Teorema do Valor Intermediário. Mas, em seguida vi que estava dando " 
bobeira" .
Note o seguinte:
x - sqrt(x)  = m     <=>  sqrt(x) . ( sqrt(x) - 1 ) = m .
Faça    sqrt(x) = y  =>   y . ( y - 1 ) = m   <=>   y^2 - y - m = 0  . 
REsolvendo esta eq. do 2o grau, obtemos   DElta =  1 + 4m > 0  , pois   m> 0 
    e     analisando    as raízes   y'  e y'' , vemos que só uma delas é 
positiva, e já que  y = sqrt(x) > 0  , segue a unicidade. É só escrever tudo 
com detalhes, para se obter uma solução formalzinha.
Um abraço,
FRed.

>From: "Eder" <edalbuquerque@uol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] ??
>Date: Mon, 20 May 2002 22:43:56 -0300
>
>Olá,
>
>
>Ficarei muito grato a quem me ajuar com o seguinte problema:
>
>"Mostre que para todo m>0, sqrt(x)+m=x tem exatamente uma raiz."
>
>É do volume 1 da coleção Matemática para o ensino médio.


Eder.

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