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Re: [obm-l] (nenhum assunto)



Considere o podlinômio P(x) = x^7 - 1,  que possui as 7 seguintes raízes complexas:
z(k) = cos (2.k.pi/7) + i.sen (2.k.pi/7),   k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
 
Como o coeficiente de x^6 em P(x) é 0 então a soma das raízes de P(x) é 0, implicando que:
 
cos 0 + cos (2.pi/7) + cos (4.pi/7) + cos (6.pi/7) + cos (8.pi/7) + cos (10.pi/7) + cos (12.pi/7) = 0  
 
Como  2.pi/7 + 12.pi/7 = 2.pi   =>   cos (12.pi/7) = cos (2.pi/7)
Como  4.pi/7 + 10.pi/7 = 2.pi   =>   cos (10.pi/7) = cos (4.pi/7) = - cos (3.pi/7)
Como  6.pi/7 + 8.pi/7 = 2.pi   =>   cos (8.pi/7) = cos (6.pi/7) = - cos (pi/7)
Portanto:
1 + cos (2.pi/7) - cos (3.pi/7) - cos (pi/7) - cos (pi/7) - cos (3.pi/7) + cos (2.pi/7) = 0   =>
cos (pi/7) - cos (2.pi/7) + cos (3.pi/7) = 1/2
 
 
Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
 
----- Original Message -----
Sent: Saturday, May 18, 2002 6:15 PM
Subject: [obm-l] (nenhum assunto)

(IMO-1963) PROVE QUE COS(PI/7)-COS(2PI/7)+COS(3PI/7)=1/2.COMECEI A FAZER E FOI FICANDO GRANDE...CADA VEZ MAIOR...RISOS...ALGUEM CONSEGUE ACHAR UM TRUQUIINHO AI??
                                    VALEU!
                                              CROM