[obm-l] Re: [obm-l] Analisem isto, se possível.

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Felipe e demais
colegas desta lista,

Sim, existe um erro em seu raciocinio ...

Se X > a e X > b isto nao implica que a=b.
Contra-Exemplo : 3 > 2 e 3 > 1 e, no entanto, 2 # 1 !

Eu destaquei pra voce a passagem errada. E a seguinte :

>Basei-me no fato de que, se 2(a+b+c)/3 é maior ou igual a
>[(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3) e tambem 2(a+b+c)/3 é maior ou igual a
>2(abc)^(1/3) é porque [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3) = 2(abc)^(1/3).

Mas o seu esforco e valido ! Quer uma dica ? Verifique que a expressao

E(a,b,c)= a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)

e simetrica ...

Um outro caminho podia ser :

Seja L=a+b+c. Entao nao pode ser a < L/3 e b < L/3 e c < L/3 pois 
aconteceria que a + b + c < L. Logo, algum deles, digamos "a", e tal que a 
 >= L/3. Mas se a >= L/3 entao b+c =< 2L/3. E dai segue que
a/(b+c) >= (L/3)/(2L/3) isto e a/(b+c) >= 1/2.  E por ai vai ...

Em verdade existe um "caminhao" de FORMAS SIMPLES de se provar isso, 
inclusive com as medias que voce usou. E so mexer um pouco mais ... AVANTE !

Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1638,080502





>From: "Felipe Marinho" <piuwee@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Analisem isto, se possível.
>Date: Wed, 08 May 2002 11:30:32 -0400
>
>Olá mais uma vez amigos da lista,
>
>Um grande abraço especial para o Paulo, Tiago e Ralph... que me ajudaram na
>questão da desigualdade. A ajuda de você foi de grande importância aqui 
>para
>mim.
>
>Agora é o seguinte, peço que vocês analisem a minha resolução para um tal
>exercício... se tiver algum erro, ou alguma outra solução mais rápida e
>inteligente... gostaria que vocês me indicassem.
>
>Lá vai:
>
>Seja a, b e c números reais positivos, provar que:
>P = a/(b+c) + b/(a+c) + c(a+b) >= 3/2
>
>----Resolução----
>De MA >= MG, temos:
>
>[a/(b+c) + b(a+c) + c(a+b)] /3 >= [abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
>
>Como P = a/(b+c) + b/(a+c) + c(a+b), temos:
>
>P >= 3[abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)                        (I)
>
>(a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)                                   (II)
>
>[(b+c) + (a+c) + (a+b)]/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
>[2(a+b+c)]/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)                  (III)
>
>Multiplicando (II) por 2, temos:
>
>2(a+b+c)/3 >= 2(abc)^(1/3)                                    (IV)
>
>Analisando (III) e (IV), temos:
>
>2(a+b+c)/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
>2(a+b+c)/3 >= 2(abc)^(1/3)
>
>-----
>Bem, até aí, sem problemas, porem aqui começa a minha dúvida. Para 
>finalizar
>o exercício, o único passo que consegui dar, foi achar uma igualdade entre
>as 2 expressões do lado direito das 2 desigualdades.
>
>Basei-me no fato de que, se 2(a+b+c)/3 é maior ou igual a
>[(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3) e tambem 2(a+b+c)/3 é maior ou igual a
>2(abc)^(1/3) é porque [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3) = 2(abc)^(1/3).
>
>Baseando-se nesta igualdade, fica fácil provar que P >= 3/2, pois:
>
>Como P >= 3[abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3), teríamos:
>
>P >= 3(abc)^(1/3) x [(1/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
>E substituindo os valores achados, teríamos:
>
>P>= [3(abc)^(1/3)] / [2(abc)^(1/3)]
>e cancelando o termo em (abc)^(1/3), temos:
>P>= 3/2 (cqd)
>
>-----FIM------
>
>Bem pessoal, a questão é essa aí. Foi a única maneira que achei para
>resolvê-la. Desculpe se não a resolvi usando algo melhor. Porem, a minha
>pergunta aqui, é a seguinte: Essa igualdade que eu achei entre as 2
>expressões, eu realmente poderia afirmar isto ? Eu errei em algum
>procedimento tomado para solucionar o problema ? Existe algum método mais
>rápido ou inteligente ?
>
>Obrigado desde já,
>Conto com a ajudade de vocês mais uma vez.
>Um grande abraço a todos os amigos,
>
>Felipe Marinho
>
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