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En: En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos

To: "obm-l" <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: En: En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@xxxxxxxxxxxxx>
Date: Sat, 13 Apr 2002 10:44:38 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Houve precipitação e falta de atenção de minha parte.

Quando a pergunta original foi lançada neste forum, eu pensei que estava-se
falando de casos particulares do Problema de Waring, que é a representação
de um número inteiro positivo como a soma de potências k de números inteiros
NÃO NEGATIVOS.

Waring disse (Meditationes Algebricae (1770), 204-5) - sem provar - que
qualquer número inteiro positivo é a soma de 4 quadrados, 9 cubos, 19
biquadrados "e assim por diante". Lagrange demonstrou, também em 1770, que
no caso de k=2 são necessárias quatro parcelas, e o Teorema dos 4 Quadrados
ganhou seu nome.

Para maiores detalhes, inclusive três provas do Teorema de Lagrange - mas
nenhuma do caso de k=3 - ver os capítulos XX e XXI do livro An Introduction
to the Theory of Numbers (Hardy,GH & Wright,EM) que, segundo o moderador
deste forum, "pode ser encontrado em qualquer biblioteca de matemática que
mereça esse nome" (non-verbatim).

JF

-----Mensagem Original-----
De: marcelo oliveira <marcelo_rufino@hotmail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Sábado, 13 de Abril de 2002 11:28
Assunto: Re: En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos


> Fácil:
> 23 = 5^3 + (- 4)^3 + (- 4)^3 + 3^3 + (- 1)^3
> 239 = 41^3 + (- 40)^3 + (- 40)^3 + 39^3 + (- 1)^3
>
> Acredito que você esteja enganado, este teorema dos 5 cubos está
demonstrado
> como eu fiz abaixo em pelo menos 3 livros de olimpíada de matemática que
eu
> possuo. Um deles inclusive é vendido (ou foi?) pela Secretaria da OBM, que
é
> o livro:
> " Problemas de las Olimpíadas Matemáticas del Cono Sur (1a. a 4a.)"
> Eduardo Wagner, Carlos Gustavo T. de A. Moreira, P.Fauring, A. Wykowski,
F.
> Gutierrez, J.C. Pedraza.
> Red Olímpica - Argentina
>
> Leia com mais calma minha demonstração que certamente você vai se
convercer
> que todo inteiro pode ser expresso como a soma de 5 cubos.
>
> Até mais,
> Marcelo Rufino de Oliveira
>
> >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
> >Date: Fri, 12 Apr 2002 20:15:40 -0300
> >
> >Tente representar 23 ou 239 como a soma de menos de 9 cubos.
> >
> >JF
> >
> >-----Mensagem Original-----
> >De: marcelo oliveira <marcelo_rufino@hotmail.com>
> >Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 20:08
> >Assunto: Re: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
> >
> >
> > > Já que ninguém se abilitou, aí vai:
> > >
> > > Mostre que qualquer número inteiro é a soma de 5 cubos.
> > >
> > > Demonstração:
> > >
> > > Observa-se que
> > > (k + 1)^3 - 2k^3 + (k - 1)^3 =
> > > = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = 6k.
> > > Desta forma, todo inteiro múltiplo de 6 pode ser escrito como soma de
4
> > > cubos.
> > > Pode-se escrever também todo inteiro n das seguintes formas:
> > >   i) n = 6q = 6x + 0^3
> > > ii) n = 6q + 1 = 6x + 1^3
> > > iii) n = 6q + 2 = 6(x + 1) + 2 = 6x + 8 = 6x + 2^3
> > > iv) n = 6q + 3 = 6(x + 4) + 3 = 6x + 27 = 6x + 3^3
> > > v) n = 6q + 4 = 6(x - 2) + 4 = 6x - 8 = 6x + (- 2)^3
> > > vi) n = 6q + 5 = 6(x - 1) + 5 = 6x - 1 = 6x + (- 1)^3
> > > Assim, podemos escrever que todo inteiro n é da forma:  n = 6k + j^3,
> >onde
> > > j = - 2 ou - 1 ou 0 ou 1 ou 2 ou 3.
> > > Sendo  6k = n - j^3   =>
> > > (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = n - j^3   =>
> > > n = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 + j^3
> > >
> > >
> > >
> > > >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Subject: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
> > > >Date: Fri, 12 Apr 2002 16:48:40 -0300
> > > >
> > > >Teorema dos cinco cubos:
> > > >
> > > >Todo número natural pode ser representado como a soma de cinco cubos.
> > > >
> > > >JF
> > > >
> > > >-----Mensagem Original-----
> > > >De: Bruno F. C. Leite <bruleite@terra.com.br>
> > > >Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 15:34
> > > >Assunto: [obm-l] Re:
> > > >
> > > >
> > > > > >05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a
> >soma
> >de
> > > > > >4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos?
> > > > >
> > > > > Que teorema dos 5 cubos é esse?
> > > > >
> > > > > Bruno Leite
> > > > > http://www.ime.usp.br/~brleite
> > > > >
> > > >
> > > >
> > >
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> > > >O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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