Re: [obm-l] sum(1/k^2)

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Gabriel e demais
colegas desta lista,

Eu estou bastante ocupado, mas vou tentar responder sucintamente a sua 
mensagem.

Considere a equacao : sen(X)=0. Quais sao as raizes dela ? Tenho certeza que 
voce sabe que sao 0, pi, 2*pi, 3*pi, ..., k*pi (k inteiro). Existem, pois, 
infinitas raizes.

Por outro lado, voce tambem sabe que ( para todo X ) :

sen(X)= X - (X^3)/3! + (X^5)/5! - (X^7)/7! + ...

Podemos, assim, considerar o POLINOMIO INFINITO
P(X) = X - (X^3)/3! + (X^5)/5! - (X^7)/7! + ... e ( audaciosamente ? ) dizer 
que SUAS RAIZES sao 0, pi, 2*pi, 3*pi, ..., k*pi ( k inteiro ), isto e, 
supor que a equacao :

0 = X - (X^3)/3! + (X^5)/5! - (X^7)/7! + ...

tem para raizes 0, pi, 2*pi, 3*pi, ..., k*pi ( k inteiro ). "Colocando o X 
em evidencia" ficara :

0 = X*( 1 - (X^2)/3! + (X^4)/5! - (X^6)/7! + ... )

E portanto a equacao 0 = 1 - (X^2)/3! + (X^4)/5! - (X^6)/7! + ... tem para 
raizes pi, 2*pi, 3*pi, ..., k*pi, POIS A FATORACAO ACIMA RETIROU A RAIZ ZERO 
!  Agora, fazendo X^2=W, ficara :

0 = 1 - (W)/3! + (W^2)/5! - (W^3)/7! + ...

E COM ESTA OPERACAO RETIRAMOS AS RAIZES NEGATIVAS -pi, -2*pi, ...

Agora ficou bom ! Podemos dizer que o polinomio

0 = 1 - (W)/3! + (W^2)/5! - (W^3)/7! + ...

Tem para raizes pi, 2*pi, 3*pi, ...,k*pi ( K INTEIRO POSITIVO ).

Aplicando, agora, a este polinomio as relacoes de Girard ( Relacoes entre 
coeficientes e raizes que voce aprendeu no 2 grau ) epercebendo que o 
coeficiente lider e um, podemos dizer que a soma dos inversos do quadrados 
das raizes e :

1/pi^2 + (1/(2pi)^2) + (1/(3*pi)^2) + ... = 1/3!

Ou seja :

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/(N^2) + ... = (pi)^2/6

tal COMO QUERIAMOS DEMONSTRAR.


Veja que este resultado e bom e a tecnica de identificar um polinomio 
infinito com uma equacao, permite fazer belas inferencias que, de ordinario, 
seriam bastante trabalhosas ( usando series de Fourier, por exemplo ). Voce 
esta, agora, convidado ( usando a mesma tecnica ) a calcular :

1 + 1/16 + 1/81 + ... + 1/n^4 + ...

Uma ultima observacao :

Em verdade, o caso acima e um evento particular de um fenomeno mais geral 
... Para que voce possa ver isso, seja

A1, A2, A3, ... An, ...

Uma progressao aritmetica de razao nao-nula ( suponha, para facilitar, que 
ela e crescente e de termos positivos ). Usando o Teorema de Leibniz que 
voce estudou em Analise, mostre que :

1/A1  -  1/A2  +  1/A3  - ... sempre converge. Seja A o valor da 
convergencia.

Mostre agora que existe um natural P, tal que (1/P!)*A e necessariamente o 
valor da serie derivada 1/C1^2 + 1/C2^2 + ...

No caso particular que o Euler achou

pi = 1 - 1/3 + 1/5 + ... e a serie de 1/Ai's.

Este fato pode ser interpretado como a generalizacao do TEOREMA DAS COLUNAS 
do TRIANGULO DE PASCAL quando estendemos este triangulo para englobar o 
triangulo harmonico de Leibniz :

1

1/2  1/2

1/3  1/6  1/3

1/4  1/12  1/12  1/4

1/5  1/20  1/30  1/20  1/5

1/6  1/30  1/60  1/60    1/30  1/6

...

Neste triangulo, a diferenca entre cada termo e o debaixo e o que fica 
embaixo, imediatamente a direita. As colunas vem LA DE BAIXO, do infinito, e 
somam o numero imediatamente acima e a esquerda. Observe que se voce 
multiplicar uma linha do triangulo de pascal pelos correspondentes elementos 
do triangulo de leibniz e somar tudo, sempre obtera o valor um. Os Russos 
gostam muito deste triangulo.

Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1733,040402

1



>From: ghaeser@zipmail.com.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
>Date: Thu, 4 Apr 2002 12:25:00 -0300
>
>
>árdua tarefa..
>
>-- Mensagem original --
>
> >O Paulo Santa Rita já respondeu isso. Procure nos arquivos.
> >
> >ghaeser@zipmail.com.br wrote:
> >
> >>sabemos que sum(1/k^2), k=1 até infinito = pi^2/6
> >>
> >>alguém sabe me dizer pq ???
> >>
> >>agradeço desde já
> >>
> >>Gabriel Haeser
> >>www.gabas.cjb.net
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