Re: [obm-l] problema GP

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

OK... como bom paulista, eu fiz com trigonometria...
Afinal, moro na terra onde o seno é a lei...

Podemos supor, sem perda de generalidade, que BD = 1.
Logo CD = 2. No triângulo ABD, aplique a lei dos
senos:

AD/sen 45 = BD/sen 15 <=> AD = sen 45/sen 15

Seja c = m(ACB). Usando a lei dos senos agora no
triângulo ACD, temos m(DAC) = 120 - c e

    AD/sen c = CD/sen(120-c)
<=> sen 45/(sen 15*sen c) = 2/sen(120-c)
<=> sen(120-c)/sen c = 2sen 15/sen 45

Agora, vamos aplicar o "truque da co-tangente":

    sen(120-c) = sen 120*cos c - sen c*cos 120
<=> sen(120-c)/sen c = sen 120*cotg c - cos 120

Substituindo temos

    sen 120*cotg c - cos 120 = 2sen 15/sen 45
<=> sen 120*cotg c = cos 120 + 2sen 15/sen 45

Subsituindo os valores numéricos (o mais desconhecido
é sen 15 = (sqrt(6) - sqrt(2))/4), temos

(sqrt(3)/2)*cotg c = -1/2 + (sqrt(6)- sqrt(2))/sqrt(2)
<=> cotg c = -1/sqrt(3) + 2 - 2/sqrt(3)
<=> cotg c = 2 - sqrt(3)
<=> tg c = 2 + sqrt(3)

Logo c = 75 graus.

Para quem não se convenceu de que c = 75 graus,
calcule tg 2c:

tg 2c = 2tg c/(1 - tg^2 c)
      = 2(2 + sqrt(3))/(1 - 7 - 4sqrt(3))
      = -(4 + 2sqrt(3))/(6 + 4sqrt(3))
      = -1/sqrt(3)
      = tg 150

Logo 2c = 150 <=> c = 75.

[]'s
Shine

--- Josimar <josimat@openlink.com.br> wrote:
> Passaram-me o problema abaixo, juntamente com uma
resolucao magica.
> Gostaria de ver outras, se possivel.
> 
> Dado um triangulo ABC com o angulo B=45 graus.
Traça-se a ceviana AD de modo que BAD=15 graus e
CD=2BD. Determine a medida do angulo ACB.
> 
> []s, Josimar
> 


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