[obm-l] GEO-prova

Olá amigos!

Adaptei o texto que segue para ser colocado num e-mail (sem anexo). Digitei-o há alguns anos, mas com muitos símbolos. Alguém poderia me ajudar como o seguinte problema?

[]s, Josimar

PROBLEMA

Apenas com os axiomas e definições abaixo, é possível provar o quarto postulado de Euclides?

Quarto postulado: "todos os ângulos retos são iguais entre si".

GEOMETRIA NO PLANO

I) AXIOMAS DE INCIDÊNCIA

Termos primitivos: PONTO, RETA e INCIDENTE.

Consideremos os termos "passar por", "jazer em" e suas variantes como sinônimos de incidentes.

AX(inc) 1 - Para todo ponto P e todo ponto Q distinto de P, existe uma única reta l incidente em P e Q.

AX(inc) 2 - Para toda reta l existem pelo menos dois pontos distintos incidentes em l.

AX(inc) 3 - Existem pelo menos três pontos distintos com a

propriedade que nenhuma reta é incidente em todos eles.

Definições

Def(inc) 1 - Dois ou mais pontos são COLINEARES quando incidem na mesma reta.
Def(inc) 2 - Duas retas são CONCORRENTES quando possuem um ponto comum, ou seja, quando incidem em um ponto.

Def(inc)3 - Duas retas são PARALELAS quando não incidem em nenhum ponto comum, ou seja, quando não são concorrentes.

II) AXIOMAS DE ENTREMEIO (BETWEENESS)

Termo primitivo: "ESTAR ENTRE".

AX(entre) 1 - Se o ponto B está entre os pontos A e C então A, B e C são três pontos distintos incidentes na mesma linha reta e também B está entre C e A.

Introduzindo a notação A*B*C para denotar que B está entre A e C (ou, equivalentemente, B está entre C e A), podemos reescrever o axioma acima como:

"Se A*B*C então A, B e C são distintos e A,B,C pertencem a l e C*B*A."

AX(entre) 2 - Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E incidindo na reta l que passa por B e D e tal que A*B*D, B*C*D, B*D*E.

AX(entre) 3 - Se A, B e C são três pontos distintos incidentes em uma reta, então ocorre um e somente um dos casos:

i) A*B*C ii) A*C*B iii) B*A*C

Definição

Def(entre)1 - Dizemos que dois pontos A e B estão do mesmo lado da reta l se o segmento [AB] não interceptar l. Caso contrário, dizemos que A e B estão em lados opostos de l.

AX(entre) 4 - Para toda reta l e três pontos A, B e C quaisquer não incidentes em l, teremos:

i. Se A e B estão do mesmo lado de l e B e C estão do mesmo lado de l, então A e C estão do mesmo lado de l.

ii. Se A e B estão em lados opostos de l e B e C estão em lados opostos de l, então A e C estão do mesmo lado de l.

Definições

Def(entre)2 - O segmento [AB] é definido por:

[AB] = {A,B} união {X / A*X*B}

Def(entre)3 - A semi-reta [AB[ é definida por:

[AB[ = [AB] união {X / A*B*X}

AXIOMAS DE CONGRUÊNCIA

Termo Primitivo: CONGRUÊNCIA.

AX(cgr) 1 - Se A e B são pontos distintos e A’ é um ponto qualquer, então para cada semi-reta r partindo de A’, existe um único ponto B’ incidente em r tal que B' seja diferente de A’ e [AB] == [A'B'], (== significa "congruente a").

AX(cgr) 2 - Se [AB]==[CD] e [AB]==[EF], então [CD]==[EF]. Além disso, todo segmento é congruente a si próprio.

AX(cgr) 3 - Se A*B*C, A’*B’*C’,[AB]==[A'B'], [BC]==[B'C'] então [AC]==[A'C'].

Definição

Def(cgr) 1 - Um ângulo de vértice A é definido como um ponto A junto com duas semi-retas [AB[ e [AC[; convencionaremos que se B*A*C então ^BAC não é um ângulo, mas sim, semi-retas opostas.

AX(cgr) 4 - Dado um ângulo ^BAC e dada qualquer semi-reta [A'B'[ partindo de A’, então há uma única semi-reta [A'C'[ em um dado lado da reta ]AB[ tal que ^B’A'C’==^BAC.

AX(cgr) 5 - Se ^A==^C e ^A==^D então ^C==^D. Além disso, todo ângulo é congruente a si próprio.

AX(cgr) 6 - (SAS) Triângulos com dois lados congruentes um a um e cujos ângulos compreendidos entre os lados congruentes são congruentes, são triângulos congruentes.

[]s, Josimar