Você conhece o Teorema de Cramer? Ele
diz que um sistema linear de n equações a n incógnitas
tem solução única se, e somente se, o determinante da
matriz dos coeficientes for não-nulo.
Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos
encontrar a,b,c reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i,
i=1,2,3. Acabamos então de montar um sistema linear de 3
equações a 3 incógnitas, a, b e c. A matriz dos
coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1], [(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3,
1]}, cujo determinante é (x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz
é de Vandermonde, então é fácil). Isso só
seria zero se tivéssemos coincidência de pelo menos duas
abscissas, o que você explicitou não acontecer. Logo, pelo
Teorema de Cramer, EXISTEM ÚNICOS a,b,c reais que satisfazem o
sistema. Fora isso, o a não é zero, pois se fosse,
teríamos a reta bx+c passando pelos três pontos (que você
disse serem não-colineares). Logo, existe uma única
parábola passando pelos três pontos.
Você pode verificar que esse argumento (até a
parte do "a não é zero, pois...") continua valendo
para um caso mais geral: por n pontos de RxR com abscissas distintas 2 a 2,
passa no máximo uma função polinomial de grau
n-1.
David
Olá,
Será que alguém poderia
ajudar nesta questão:
"Considere três pontos no plano
cartesiano,não colineares e com abcissas distintas duas a
duas.Qual o número de funções quadráticas
que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam
aos seus gráficos?"
Essa questão foi do vestibular de
uma universidade não lá muito conceituada,mas eu ainda
não matei a
charada...