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Re: [obm-l] ???



Desculpe, eu tinha escrito "por n pontos de RxR com abscissas distintas 2 a 2, passa no máximo uma função polinomial de grau n-1", que é certo mas claro que não é a conclusão que a gente queria. Queria dizer "por n pontos de RxR com abscissas distintas 2 a 2, existe uma única função polinomial de grau no máximo n-1 cujo gráfico passa".
David
-----Mensagem original-----
De: David Daniel Turchick <dturchic@colband.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 21 de Fevereiro de 2002 09:53
Assunto: Re: [obm-l] ???

Você conhece o Teorema de Cramer? Ele diz que um sistema linear de n equações a n incógnitas tem solução única se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for não-nulo.
 
Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos encontrar a,b,c reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i, i=1,2,3. Acabamos então de montar um sistema linear de 3 equações a 3 incógnitas, a, b e c. A matriz dos coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1], [(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3, 1]}, cujo determinante é (x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz é de Vandermonde, então é fácil). Isso só seria zero se tivéssemos coincidência de pelo menos duas abscissas, o que você explicitou não acontecer. Logo, pelo Teorema de Cramer, EXISTEM ÚNICOS a,b,c reais que satisfazem o sistema. Fora isso, o a não é zero, pois se fosse, teríamos a reta bx+c passando pelos três pontos (que você disse serem não-colineares). Logo, existe uma única parábola passando pelos três pontos.
 
Você pode verificar que esse argumento (até a parte do "a não é zero, pois...") continua valendo para um caso mais geral: por n pontos de RxR com abscissas distintas 2 a 2, passa no máximo uma função polinomial de grau n-1.
 
David
-----Mensagem original-----
De: Eder <edalbuquerque@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 20 de Fevereiro de 2002 16:38
Assunto: [obm-l] ???

Olá,
 
Será que alguém poderia ajudar nesta questão:
 
"Considere três pontos no plano cartesiano,não colineares e com abcissas distintas duas a duas.Qual o número de funções quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos?"
 
Essa questão foi do vestibular de uma universidade não lá muito conceituada,mas eu ainda não matei a charada...